Les Data (Δεδομένα) és en realitat una obra menor d'Euclides que complementa els Elements, en el sentit que, d'una banda, s'hi proven teoremes relativament febles, i, de l'altra, a les demostracions hi utilitza proposicions dels Elements. L'objectiu principal de les Data és el de provar algunes implicacions geomètriques per tal de facilitar el treball a matemàtics del tipus de, si ens són donades dues magnituds, podem dir que també ens ha estat donada la proporció entre aquestes. Així, l'enfocament de l'obra és el d'analitzar, donades unes premisses, quines altres podem afirmar que ens són immediatament donades? En aquest sentit es diu que l'obra se centra en l'anàlisi descuidant la síntesi, volent dir que se centra a treballar amb les hipòtesis sense assolir els teoremes més constructius que sí que demostrava als Elements. D'alguna manera, és un intent de formalitzar totes aquelles implicacions trivials que avui dia utilitzem amb més o menys lleugeresa per tal de justificar-les i simplificar així les coses. Seguint la mateixa línia formal que caracteritza Euclides, l'obra s'estructura de manera que, després de donar el seguit de definicions que utilitzarà, en total quinze, comença a provar els noranta-quatre teoremes que constitueixen l'obra, basant-se, únicament, en les definicions i els teoremes ja demostrats o, com ja havíem dit, dels Elements. Així, en un augment gradual de la complexitat, els teoremes comencen centrant-se en les magnituds i proporcions, seguides de l'anàlisi dels angles i les figures planes, per acabar amb els cercles.
Traduccions L'obra ens ha arribat per traduccions al llatí o àrab, tot i que resulta força significatiu el fet que solia ser traduïda de la mà dels Elements. Un exemple d'això n'és la traducció al llatí de Gerard de Cremona (1114-1187), a Toledo, que va traduir nombroses obres matemàtiques del grec i àrab. Per altra banda, se n'ha conservat també una versió grega del descoberta per Peyrard, i existeixen múltiples referències d'altres autors, com ara la detallada descripció que en fa Papos al llibre VII d'El tresor de l'anàlisi, obra molt relacionada amb els primers quatre llibres dels Elements. Euclides De la seva vida no se'n sap gran cosa, tret del fet que va viure a Alexandria, ciutat situada al nord d'Egipte, durant el regnat de Ptolemeu I. Alguns autors àrabs afirmen que era fill de Naucrates. Es tenen tres hipòtesis sobre el matemàtic: Fou un personatge matemàtic històric que va escriure els Elements i d'altres obres atribuïdes a ell.
Fou un líder d'un equip de matemàtics que treballava a Alexandria, els quals van contribuir a escriure les obres completes d'Euclides, fins i tot firmant els llibres amb el nom d'Euclides després de la mort d'aquest.
Les obres completes d'Euclides van ser escrites per un equip de matemàtics d'Alexandria, els quals van prendre el nom Euclides del personatge històric Euclides de Megara, que havia viscut un segle abans.
Els Elements Són l'obra més important d'Euclides d'Alexandria. Hem de remarcar la rellevància que ha tingut aquest treball a la matemàtica, la ciència i també a la humanitat, ja que és, després de la Bíblia, el llibre amb més edicions. Així doncs, no es podia obviar, més encara per la seva estretíssima relació amb les Data. Els Elements són el primer vestigi del mètode de la construcció axiomàtica. Estan formats per un conjunt de tretze llibres, dels quals no tots se centren en el seu estudi. A grans trets es divideixen en tres blocs. Un primer per a la geometria, un altre per a l'àlgebra i el darrer per a l'aritmètica. La raó per la qual en l'estudi de les Data ens interessem pels Elements és perquè el primer és fruit del segon. És a dir, les Data eren usades pels matemàtics grecs per tal de facilitar el procediment d'anàlisi per a la solució dels problemes geomètrics. Val a dir que abans d'enfrontar-se a un problema geomètric, el matemàtic ha de tenir un bon coneixement dels Elements.
Axiomes de la Geometria Euclidiana Un dels punts més importants dels Elements, que configuren la base de la geometria euclidiana, són els cinc axiomes d'Euclides: Per dos punts diferents passa una sola recta. Qualsevol segment pot ser prolongat de manera contínua cap a qualsevol sentit. Existeix una única circumferència amb un centre i radi donats. Tots els angles rectes són iguals. Si una recta secant talla a dues rectes formant a un costat angles interiors, la suma dels quals sigui menor que dos angles rectes; les dues rectes, suficientment allargades es tallaran en el mateix costat.
Les Data El llibre està format per un seguit de 15 definicions les quals no se centren a construir el que anomenem Geometria Euclidiana si no en donar les eines necessàries per a la interacció que poden tenir els objectes a dins d'aquesta. Les 94 proposicions que en precedeixen es poden dividir en 5 grups. Magnituds, posicions, angles, triangles i cercles. Trobarem bàsicament quatre expressions de les quals en donarem la definició literal que en donà Euclides; «donat amb magnitud...», “es dona una proporció…”, “es dona en posició…”, “donat amb espècie…”.
Definicions Espais, línies i angles es diu que són donats en magnitud, quan podem assignar iguals a aquests. Una proporció es diu que és donada, quan podem trobar una igual a aquesta. Les figures rectilínies es diu que són donades específicament, quan cadascun dels seus angles és donat i també les proporcions entre els seus costats és donat. Punts, línies i angles es diu que són donats en posició, quan aquests sempre manen al mateix lloc. Un cercle es diu que és donat en magnitud, quan la seva línia recta des del centre (i.e., el seu radi) és donat en magnitud. Un cercle es diu que és donat en posició i en magnitud, quan el seu centre és donat en posició i la seva línia recta des del centre (i.e., el seu radi) és donat en magnitud. Els segments dels cercles es diu que són donats en magnitud, quan l'angle que contenen i les bases dels segments que contenen són donats en magnitud. Segments (de cercles) es diu que són donats en posició i en magnitud, quan els angles que contenen són donats en magnitud i les bases dels seus segments són donats en posició i en magnitud. Una magnitud és major que una altra magnitud per una dona (magnitud), quan, aquesta donada (magnitud) essent extreta de la primera magnitud, el residu és igual a alguna magnitud. Una magnitud és menor que una altra magnitud per una donada (magnitud), quan, aquesta donada (magnitud) essent sumada a la primera, el resultat és igual a alguna magnitud. Una magnitud és major que una altra magnitud per una donada (magnitud) com a proporció, quan, la donada (magnitud) essent restada, el residu té una proporció amb la mateixa (magnitud). Una magnitud és menor que una altra magnitud per una donada (magnitud) com a proporció, quan, la mateixa (magnitud) essent sumada a la primera magnitud, el resultant té una proporció amb la mateixa (magnitud). Una línia recta és (es diu que és) catigmeni (i.e., elevada), quan és dibuixada per sota d'un punt donat en una línia recta (donada) en posició, creant un angle donat. Una línia recta és (es diu que és) anigmeni (i.e., elevada), quan és dibuixada per sobre d'un punt en una línia recta (donada) en posició, creant un angle donat. Una línia recta és (es diu que és) parathesi (i.e., juxtaposada), quan és dibuixada, a partir d'un punt, paral·lela a una altra línia recta (donada) en posició.
Proposicions Amb l'objectiu d'aprofundir en la comprensió de les Data hem separat les 94 proposicions en 5 grans blocs. L'ordre d'aquests és clau per al correcte enteniment i comprensió del coneixement que pretén transmetre el llibre.
Per comprendre realment el que ens diu la proposició hem cregut oportú exposar la demostració. A més a més d'aquesta manera podem veure com Euclides utilitza els conceptes per a demostrar-ho.
Magnituds I. Donades dues magnituds, la proporció entre les dues és donada. Demostració:
Siguin A i B dues magnituds. Diem que la proporció A:B és donada. Comprovem-ho.
Si la quantitat A és donada, és possible assignar una altra magnitud igual a aquesta. Anomenem-la G. Seguidament, com que B és donada, també és possible assignar una altra magnitud D igual a B. Com que la quantitat de A és igual a la quantitat de G i la quantitat B és igual a la quantitat D, llavors A:G=B:D. Permutant els elements, tenim A:B=G:D. Aleshores, la proporció A:B és donada per una proporció igual que ha estat assignada, anomenada G:D.centre|miniatura|Proposició 1|330x330px II. Si d'una quantitat donada sabem la proporció que té amb una altra quantitat, aquesta segona també és donada. Demostració:
Aquesta demostració segueix el mateix procés que l'anterior finalitzant amb l'argument de la permutació entre les quantitats. Per a entendre-la, la il·lustració de la primera proposició és totalment vàlida. III. Si sumem dues quantitats donades, la quantitat resultant és també donada. Demostració:
Intuïtivament podem pensar que el resultat és directe, però cal demostrar-lo amb rigor. El que fa Euclides és crear, de la mateixa manera que en les demostracions anteriors, quantitats iguals a les donades. Aleshores com sabem crear una quantitat igual a la suma de les dues quantitats inicials, això significa que la suma de les quantitats inicials és donada.
És a dir, tenim A i tenim B. Per tant, sigui G una quantitat igual que A i D una igual a B. Com que la suma de A i B és la mateixa que G i D. Així, a partir de A i B podem saber la seva suma, ja que l'hem pogut reproduir amb G i D. centre|miniatura|Proposició 3
IV. Si una determinada quantitat és extreta d'una altra quantitat, la quantitat restant és també donada. Demostració:
El procés deductiu que utilitza és el mateix que en l'anterior proposició. Per a entendre-la ens podem ajudar de la il·lustració de la proposició 3. V. Si tenim la proporció que hi ha entre una quantitat donada i una part d'aquesta, aleshores també tindrem la proporció entre aquesta segona quantitat i el restant de la partició. Demostració:
Tenim la quantitat AB i la proporció amb una part AG. Sigui DZ una altra quantitat, com que tenim la proporció BA:AG podem assignar-ne una igual fent ZD:DE. Com ZD és donat, aleshores DE també i, per tant, EZ també. Com tenim DZ:ZE i sabem que per la construcció és igual a AB:BG ja hem demostrat el resultat. centre|miniatura|Proposició 5
Hem vist com demostra Euclides aquestes proposicions. De les següents ens limitarem a escriure l'enunciat amb la seva corresponent representació geomètrica. VI. Si dues quantitats que tenen una proporció entre elles estan sumades, aleshores la quantitat total també tindrà una proporció per cadascuna de les quantitats originals. Per entendre-la ens podem ajudar de la il·lustració de la proposició 5. VII. Si una determinada quantitat la dividim amb una proporció donada, cadascun dels segments també seran donats. centre|miniatura|Proposició 7
VIII. Siguin tres quantitats A, B i G. Si tenim la proporció entre A i B i entre G i B aleshores tindrem la proporció entre a i G. centre|miniatura|Proposició 8