Es diu que un sistema qualsevol, mecànic, elèctric, pneumàtic, etc. és un 'oscil·lador harmònic si quan es deixa en llibertat, fora de la seva posició d'equilibri, torna cap a ella descrivint oscil·lacions sinusoidals, o sinusoidals esmorteïdes entorn d'aquesta posició estable.
frame|Figura 1: La massa penjada del ressort forma un oscil·lador harmònic. L'exemple és el d'una massa penjada a un ressort (vegeu figura 1). Quan s'allunya la massa de la seva posició de repòs, el ressort exerceix sobre la massa una força que és proporcional al desequilibri (distància a la posició de repòs) i que està dirigida cap a la posició d'equilibri. Si es deixa anar la massa, la força del ressort accelera la massa cap a la posició d'equilibri. A mesura que la massa s'apropa a la posició d'equilibri i que augmenta la seva velocitat, l'energia potencial elàstica del ressort es transforma en energia cinètica de la massa. Quan la massa arriba a la seva posició d'equilibri, la força serà zero, però com la massa està en moviment, continuarà i passarà de l'altre costat. La força s'inverteix i comença a frenar la massa. L'energia cinètica de la massa va transformant ara en energia potencial del ressort fins que la massa s'atura. Llavors aquest procés torna a produir-se en direcció oposada completant una oscil·lació.
Si tota l'energia cinètica es transformés en energia potencial i viceversa, l'oscil·lació seguiria eternament amb la mateixa amplitud. En la realitat, sempre hi ha una part de l'energia que es transforma en una altra forma, a causa de la viscositat de l'aire o perquè el ressort no és perfectament elàstic. Així doncs, l'amplitud del moviment disminuirà més o menys lentament amb el pas del temps, el que es coneix com a oscil·lador harmònic esmorteït, vegeu més endavant. Es començarà tractant el cas ideal, en el qual no hi ha pèrdues d'energia. S'analitzarà el cas unidimensional d'un únic oscil·lador (per la situació amb diversos oscil·ladors, vegeu moviment harmònic complex).
Casos Oscil·lador harmònic sense pèrdues
S'anomenarà a la massa i a la distància entre la posició de la massa i la posició d'equilibri. Se suposarà que la força del ressort és estrictament proporcional al desequilibri: (llei de Hooke). és la força i la constant elàstica del ressort. El signe negatiu indica que la força és recuperadora, és a dir, sempre té un sentit oposat al del desplaçament . Així doncs, la força elàstica del ressort sempre atraurà la massa cap a la posició d'equilibri. La segona llei de Newton diu
substituint la força obtenim:
La solució d'aquesta equació diferencial ordinària és immediata: les úniques funcions reals (no complexos) la segona derivada de les quals és la mateixa funció amb el signe invertit són sinus i cosinus. Les dues funcions corresponen al mateix moviment, ja que el sinus i el cosinus són en realitat la mateixa funció desplaçada radians. Escollim arbitràriament la funció cosinus. La solució a l'equació diferencial ordinària anterior és de la forma:
frame|Figura 2: La corba de dalt dona la posició de l'oscil·lador en funció del temps. La del mig dona la velocitat. A continuació hi ha les corbes de les energies. En blau està l'energia cinètica i en vermell l'energia potencial del ressort
on és l'elongació o diferència respecte a l'estat d'equilibri, les seves unitats són les de . és l'amplitud, màxima diferència respecte a la posició d'equilibri. és la pulsació (o freqüència angular) i la freqüència. és el temps. és la fase inicial (per a ). És fàcil comprovar que el valor d' és
El període d'oscil·lació és
Com ja hem dit, durant un quart d'una oscil·lació l'energia potencial es transforma en energia cinètica. Durant un altre quart, l'energia cinètica es transforma en energia potencial. A la figura 2 s'ha traçat la posició en funció del temps (en color lila), la velocitat en funció del temps (en color verd) i les energies potencials i cinètiques (en color vermell i blau respectivament).
Oscil·lador harmònic esmorteït frame|Figura 3: Oscil·lador harmònic amb amortidor. La força viscosa, que és proporcional a la velocitat, frena l'oscil·lador. Afegint pèrdues d'energia, s'aconsegueix modelar una situació més propera a la realitat. Així, cal notar que l'oscil·lació descrita en l'apartat anterior es perllongaria indefinidament en el temps (la sinusoide que descriu la posició no convergeix a zero en cap moment). Una situació més versemblant es correspon al cas on es considera una força addicional que frena el moviment. Aquesta força pot ser constant (però sempre amb signe tal que freni el moviment). És el cas de fregaments secs: la força no depèn ni de la velocitat ni de la posició. Una altra situació que es produeix en la realitat és que la força sigui proporcional a la velocitat elevada a una potència, sencera o no. Així succeeix quan la força que frena prové de la viscositat o de les pèrdues aerodinàmiques. Es tractarà únicament el cas més simple, és a dir, quan la força sigui proporcional a la velocitat. En aquest cas la força serà:
on és un coeficient que mesura l'amortiment causat per la viscositat. Si és petit, el sistema està poc esmorteït. Cal notar el signe negatiu que indica, com abans, que la força té la direcció oposada a la velocitat. Amb aquest terme complementari l'equació diferencial del sistema és:
Es tracta d'una equació diferencial ordinària, lineal, de segon ordreSimmons, capítol 3 (conté derivades segones) i homogènia (no hi ha terme independent de ). Té tres tipus de solucions segons el valor de : Si , el sistema està sobreesmorteït (esmorteïment fort o supercrític) Si , el sistema té esmorteïment crític. Si , el sistema oscil·la amb amplitud decreixent (esmorteïment dèbil o subcrític)
Oscil·lador sobreesmorteït frame|Figura 4: Posició en funció del temps d'un oscil·lador harmònic esmorteït. corba blava: esmorteïment crític. corba vermella: esmorteïment doble que el crític. corba verda: esmorteïment igual a 90% de l'esmorteïment crític. En aquest cas el sistema no és realment un oscil·lador; la força d'esmorteïment és tan gran que l'oscil·lador no pot arribar a fer una oscil·lació completa. La solució és de la forma:
on els coeficients de les exponencials són menors que zero i reals (motiu pel qual no hi ha oscil·lació): i i depenen de les condicions inicials (és a dir, de la situació del sistema per a ). La posició no és oscil·lant i tendeix cap a la posició d'equilibri de manera asimptòtica. Les dues exponencials decreixents de les solucions tenen constants de temps diferents. Una és petita, , i correspon a la ràpida cancel·lació de l'efecte de la velocitat inicial. La segona, , és més gran i descriu la lenta tendència cap a la posició d'equilibri.
Oscil·lador amb esmorteïment crític Aquest cas és el límit entre un sistema oscil·lant i un no oscil·lant. Passa quan La solució única és
Com abans, i són constants que depenen de les condicions inicials. L'esmorteïment crític correspon a la tendència més ràpida cap a la situació d'equilibri quan no sobrepassa aquesta posició. Si es disminueix una mica l'esmorteïment el sistema s'apropa més ràpidament a la posició d'equilibri, però sobrepassant la posició oscil·la entorn d'aquest punt (prenent valors positius i negatius). Així doncs, l'esmorteïment crític és el que aconsegueix més ràpidament retornar a l'estat inicial sense sobrepassar-lo, veure figura 4, contràriament al que el sentit comú podria indicar d'entrada (una força superior hauria de frenar l'oscil·lador més ràpidament).
Oscil·lador amb esmorteïment dèbil frame|Figura 5: Oscil·lacions esmorteïdes. L'amplitud de la sinusoide està controlada per l'exponencial. En aquest cas, que és més interessant, tenim un oscil·lador que oscil·la al voltant de la posició d'equilibri amb amplitud decreixent. Passa quan .
La solució és
Com abans, i són constants que depenen de les condicions inicials. La pulsació és
La pulsació del sistema esmorteït és una mica menor que la pulsació del sistema no esmorteït, , ja que la força que l'esmorteeix frena la massa i la retarda.
L'oscil·lació del sistema està descrita per una sinusoide de freqüència . Es pot observar que l'amplitud està multiplicada per una exponencial decreixent de temps propi .
Factor de qualitat Q En un sistema poc esmorteït és interessant de definir el factor de qualitat (Quality factor en anglès) o simplement Q com a:
Aquesta quantitat és igual a vegades l'invers de les pèrdues relatives d'energia per període. Així, un sistema que perd 1% d'energia a cada cicle, tindrà un 'Q de 628. Més interessant, Q és també vegades el nombre d'oscil·lacions que el sistema fa mentre la seva amplitud es divideix per un factor . Si es pot acceptar una aproximació més grollera, Q és 3 vegades el nombre d'oscil·lacions que un sistema fa mentre la seva amplitud cau a 1/3 de l'amplitud inicial. Com a exemples, el Q d'un vehicle amb els amortidors en bon estat és una mica més gran que 1. El Q d'una corda de guitarra és de diversos milers. El Q dels cristalls de quars utilitzats en electrònica com a referència de freqüència és l'ordre d'1 milió.
Oscil·lacions forçades Podem iniciar el moviment un oscil·lador harmònic desplaçant de la seva posició d'equilibri i abandonant a la seva oscil·lació lliure (vegeu paràgrafs precedents).
Alternativament, podem aplicar-li una força tal que la intensitat variï de manera sinusoidal amb el temps. En aquesta situació, l'equació diferencial lineal és inhomogènia. La solució a aquest tipus d'equació està formada per dos termes: la solució general del sistema homogeni més una solució particular del cas no homogeni.Simmons, pàgines 84-87 Per tant, la solució està formada per dues parts, una part transitòria (que s'anul·la passat cert temps), similar a les que es poden veure en els paràgrafs precedents, més una part estacionària. La solució de la part transitòria és la mateixa la que ja s'ha vist (equació homogènia). Les úniques diferències són les condicions inicials i finals, que no són idèntiques. Per tal de trobar la solució estacionària cal afegir la següent força sinusoidal a l'equació diferencial del sistema :
Per resoldre aquesta equació és més interessant utilitzar el mateix mètode que en electricitat i electrònica. Per a això, s'afegeix a la força real una força imaginària . Com en electrònica, s'utilitza en lloc de i. Ara l'equació a resoldre és:
Només la part real de y és d'interès. La solució és immediata:
Si es deriva aquesta expressió i se substitueix en l'equació diferencial, es troba el valor d'A:
però A es pot escriure com a i la solució de complexa és
El valor de real és la part real de l'expressió precedent:
on és el mòdul de i el seu argument:
Com en electricitat, l'angle dona el desfasament del moviment pel que fa a la força externa. Si és positiu, el moviment està en avanç de fase i si és negatiu el moviment està en retard de fase. En aquest cas el desfasament serà sempre negatiu.
Resposta en freqüència L'amplitud de les oscil·lacions forçades dependrà, per descomptat, de l'amplitud de la força externa. Però per a una mateixa amplitud de la força, l'amplitud de l'oscil·lació dependrà també de la freqüència. Utilitzant la definició de freqüència pròpia del sistema (sense esmorteïment ni força externa), frame|Figura 6: Resposta en freqüència d'un oscil·lador harmònic. A la freqüència de ressonància, l'amplitud és Q vegades més gran que a molta baixa freqüència.|427x427px
es pot llavors escriure
Si a més s'utilitza la definició s'obté: