miniatura|Un exemple de matriu en forma canònica de Jordan. Els blocs grisos s'anomenen blocs de Jordan i només tenen diferents de zero els valors de la diagonal (els valors propis) i els que queden immediatament per damunt (aquests valen 1). La resta d'elements de la matriu, fora dels blocs de Jordan, són tots zero (aquí representats amb espais en blanc).
La forma canònica de Jordan o forma normal de Jordan defineix el terme forma canònica de Jordan i en un peu de pàgina diu que forma normal de Jordan n'és un sinònim. Aquestes dues terminologies de vegades s'abreugen com forma de Jordan. El terme forma canònica clàssica també s'usa de vegades en aquest sentit. és un terme matemàtic utilitzat en àlgebra lineal. Deu el seu nom al matemàtic francès Camille Jordan, que la va descobrir el 1871 per a solucionar sistemes d'equacions diferencials complexes per a matrius complexes. En concret, és la representació d'un endomorfisme amb una matriu de Jordan, que és una forma especial de matriu triangular superior, en certa base.
El problema de trobar la forma canònica de Jordan d'un endomorfisme consisteix a trobar quina és la matriu de Jordan que el representa i quina és la base en què l'endomorfisme pren aquesta forma.
L'aspecte d'una matriu (o d'un endomorfisme, o d'un operador lineal) en forma canònica de Jordan és el d'una matriu amb gairebé totes les entrades nul·les, llevat de la diagonal principal i dels elements immediatament per sobre (o per sota) d'aquesta diagonal, que són 1 o 0.
En un espai vectorial complex de dimensió finita, qualsevol endomorfisme té una forma canònica de Jordan. En canvi, en un espai vectorial real, no tots els endomorfismes tenen una forma canònica de Jordan real.
Precedents miniatura|Camille Jordan (1838-1922) miniatura|125px|Retrat de Leopold Kronecker Camille Jordan i Leopold Kronecker tingueren una gran controvèrsia durant l'any 1874, generada per l'ambició de Jordan per reorganitzar la teoria de formes bilineals mitjançant el que anomenà noció «simple» de forma canònica. Donats dos polinomis bilineals i , hom es planteja la possibilitat de reduir ambdós polinomis i simultàniament a la seva forma canònica.
D'una banda, Karl Weierstrass va definir el 1868 un conjunt complet de polinomis invariants per parells de formes bilineals no-singulars, que es calculen a partir del determinant , i que designà com divisors elementals de . Tota forma quadràtica sobre és equivalent a una única forma , on r representa el rang de la matriu simètrica A = [aij] i p és la major dimensió de tots els subespais V sobre els quals és definida positiva. A més, dues matrius n×n A i B són congruents si i només si tenen el mateix rang i la mateixa signatura.
El càlcul d'invariants era un mètode típic de la teoria de formes bilineals desenvolupada en la dècada de 1860, i es considerava un tema d'estudi especialitzat, limitat a alguns geòmetres de Berlín, com ara Christoffel, Kronecker i Weierstrass. D'altra banda, en l'àmbit de la teoria de grups, Jordan afirmà que una substitució lineal podia reduir-se a una forma canònica simple. Els dos teoremes foren plantejants de manera independent i pertanyien a diferents àrees de les matemàtiques, fins que Jordan afirmà el 1873 que el seu teorema es podria aplicar a la teoria de formes.
El 1766, Lagrange desenvolupà un mètode per la integració d'un sistema de n equacions lineals a coeficients constants que modelitzava les petites oscil·lacions d'una molla carregada amb un nombre arbitrari de pesos (simbolitzat per , on representen els períodes de les oscil·lacions independents). El punt comú dels invariants de Weierstrass i de la forma canònica de Jordan era que llurs mètodes eren capaços de proporcionar una solució completa a aquest problema, independentment de la multiplicitat de les seves arrels. Jordan també arribà a aquesta conclusió entre 1871 i 1872.
La qüestió va ser llavors quin mètode s'havia d'emprar per organitzar la teoria de formes bilineals. D'una banda, Jordan argumentà que el mètode principal de la teoria havia de ser la reducció algebraica de les formes a les seves formes canòniques més simples. D'altra banda, Kronecker objectà que la teoria pertanyia a l'aritmètica de les formes segons la tradició de Gauss, i que, per tant, el problema principal havia de ser caracteritzar les classes d'equivalència de les formes mitjançant el càlcul d'invariants. És més, Kronecker argumentà que els invariants de Weierstrass es podien calcular de forma efectiva, perquè estaven definits com a màxims comuns divisors dels menors extrets del polinomi invariant ; en canvi, segons el mateix Kronecker, la forma canònica de Jordan no es podia calcular de forma efectiva, en general, i s'havia de considerar com una "noció formal" sense "significat objectiu".
Motivació Un operador lineal entre espais vectorials de dimensió finita es pot representar amb una matriu; si l'operador lineal és un endomorfisme (o sigui, un operador lineal d'un espai vectorial sobre si mateix), aleshores la matriu és quadrada.
La matriu que representa un endomorfisme depèn de la base que es faci servir. En moltes aplicacions dels endomorfismes, convindrà triar la base de manera que la matriu que representa un cert endomorfisme tingui una forma tan senzilla com sigui possible. La forma més senzilla que pot adoptar la matriu d'un endomorfisme és la d'una matriu diagonal, però sovint no serà possible trobar-ne una (o sigui, no tots els endomorfismes són diagonalitzables). Pels endomorfismes no diagonalitzables, hom pot intentar representar-los amb una matriu de Jordan, que és una mica menys senzilla que una matriu diagonal, però encara prou manejable.
Per exemple, una matriu A n × n és diagonalitzable si i només si la suma de les dimensions dels seus espais propis és n. De forma equivalent, si i només si A té n vectors propis linealment independents. No totes les matrius són diagonalitzables. Considerem la següent matriu:
Si es tenen en compte les multiplicitats, els valors propis de A són λ = 1, 2, 4, 4. La dimensió del nucli de (A − 4In) és 1 (i no 2), de tal manera que A no és diagonalitzable. En canvi, existeix una matriu invertible P tal que A = PJP−1, on
La matriu J és gairebé diagonal. De fet, és la forma canònica de Jordan de A. A la secció Exemples de càlcul es poden trobar els detalls de com calcular-la.
Qualsevol matriu quadrada té una forma canònica de Jordan si s'estén el cos de coeficients a un altre cos que contingui tots els valors propis de la matriu. Malgrat el seu nom, la forma canònica per una matriu M no és completament única, perquè és una matriu diagonal per blocs, on cadascun és un bloc de Jordan, l'ordre dels quals no està fixat; per convenció, hom agrupa els blocs del mateix valor propi, però no hi ha preestablert cap ordre en els valors propis, ni en els blocs per un mateix valor propi; encara que això últim en pot reduir lleugerament la mida.
Un altre motiu per considerar la forma canònica de Jordan d'una matriu és la simplificació dels càlculs que hom ha de realitzar quan es vol calcular una potència n-sima d'una matriu. Per exemple, donada una matriu , si es vol calcular , s'ha de calcular , després , i així successivament fins a arribar a , un càlcul que pot resultar senzill però feixuc (el cost computacional de multiplicar només dues matrius és aproximadament , si n és la grandària de les matrius; per tant, el cost computacional de calcular la k-sima potència d'una matriu n×n és aproximadament , en notació de Landau). En canvi, si primer es determina la forma canònica de Jordan de , per exemple denotada per , hom té que existeix una matriu de canvi de base tal que . A partir d'aquí,
on és més fàcil de calcular que , perquè és una matriu per blocs, on cada bloc és triangular superior. De fet, per calcular la potència k-sima d'una matriu expressada en forma canònica de Jordan, només cal calcular la potència k-sima de cada bloc de Jordan. És a dir, si hom té una matriu en forma canònica de Jordan
amb r blocs de Jordan , la seva potència k-sima és:
Ara, la potència k-sima d'un bloc de Jordan de dimensió d
és, de forma explícita:
on , i amb la convenció de què per .
El cost computacional per calcular la forma canònica de Jordan d'una matriu n×n és aproximadament . A partir d'aquí, per completar el càlcul, hom només ha d'afegir el cost computacional del càlcul de la inversa de P, i dos productes matricials.
Definició miniatura|Un exemple de matriu de Jordan. Els blocs grisos s'anomenen blocs de Jordan i només tenen diferents de zero els valors de la diagonal i els que queden immediatament per damunt (aquests valen 1). La resta d'elements de la matriu, fora dels blocs de Jordan, són tots zero (aquí representats amb espais en blanc). En aquest exemple, el polinomi característic és P(λ)=(λ-λ1)3(λ-λ₂)²(λ-λ₃)…(λ-λn)²; per tant, la multiplicitat del valor propi λ1 és 3, la de λ₂ és 2, la de λ₃ és 1, i la de λn és 2. Sigui un endomorfisme d'espais vectorials. Suposi's que el polinomi mínim de descompon en factors lineals. Sigui la descomposició de en suma directa d'espais -cíclics, i sigui el polinomi mínim de la restricció de a . Es tria per a cada un vector amb polinomi mínim . Aleshores els vectors
són linealment independents. Ara, i, per tant, aquests vectors formen una base. La matriu de la restricció de a en aquesta base és
Hom diu que és un bloc de Jordan pel valor propi de dimensió .
Nota: Alguns autors prefereixen escriure
Això no suposa una pèrdua de generalitat, perquè la forma de la matriu depèn de l'ordenació dels vectors de la base en la qual pren aquesta forma.
S'obté així el següent teorema:
De la mateixa manera que es parla de la forma de Jordan d'un endomorfisme, també es pot parlar de la forma de Jordan d'una matriu. Trobar la forma canònica de Jordan d'una matriu és trobar una matriu de Jordan semblant a aquesta, i trobar també la transformació de semblança. El problema de trobar la forma de Jordan d'una matriu és equivalent al problema de trobar la forma de Jordan d'un endomorfisme representat per aquesta matriu.
Procediment de càlcul Cal trobar una base en la qual la matriu prengui la forma vista anteriorment. Cal observar que els elements que apareixen a la diagonal de la matriu canònica de Jordan són els valors propis de (possiblement repetits). Per obtenir una base de en què la matriu de sigui la matriu canònica de Jordan, es procedeix de la següent forma.
Siguin i els polinomis característic i mínim de . Es té que i . Els enters estan caracteritzats pel fet que
i
A més,
La base que s'està buscant és unió de bases convenients dels subespais invariants . Restringint-se a aquests espais, hom pot suposar que el polinomi característic de és i el polinomi mínim , amb . Per a qualsevol es pot designar per .
Consideri's aquest requadre de vectors:
Els vectors determinen classes que formen una base de . És fàcil veure que són linealment independents i que determinen classes linealment independents a . Els vectors són vectors representants de classes que, juntament amb les anteriors, formen una base de formada pels vectors situats a l'última fila del requadre.
Es té aleshores: El conjunt de tots els vectors que apareixen en el requadre formen una base de . El nombre de columnes és la multiplicitat del valor propi . El nombre de files és l'exponent del polinomi mínim. El nombre de vectors a cada fila és . El nombre de matrius que apareixen en la matriu canònica de Jordan de és , que és la diferència de vectors en files consecutives. Cada columna és la base d'un subespai -cíclic de la descomposició de .
Matrius complexes En general, una matriu quadrada a entrades complexes A és semblant a una matriu diagonal per blocs
on cada bloc Ji és una matriu quadrada de la forma