En matemàtiques, els tests de convergència són mètodes per avaluar la convergència, la convergència condicional, la convergència absoluta, l'interval de convergència o la divergència d'una sèrie infinita.
Llista de tests Límit del sumand. Si el límit del sumand és indefinit o diferent de zero, és a dir, , aleshores la sèrie divergeix. En aquest sentit, les sumes parcials són seqüències de Cauchy si i només si aquest límit existeix i és igual a zero. El test no és concloent si el límit del sumand és zero. Criteri de d'Alembert. Suposem que existeix tal que
Si r < 1, aleshores la sèrie convergeix. Si r > 1, aleshores la sèrie divergeix. Si r = 1, el test no és concloent, i la sèrie pot convergir o divergir. Criteri de l'arrel de Cauchy. Definim r com:
on "lim sup" denota el límit superior (possiblement ∞; si el límit existeix és el mateix valor).
Si r < 1, aleshores la sèrie convergeix. Si r > 1, aleshores la sèrie divergeix. Si r = 1, el test no és concloent, i la sèrie pot convergir o divergir.
Test de la integral (o criteri de la integral de Cauchy). La sèrie es pot comparar a una integral per establir-ne la convergència o divergència. Sigui una funció positiva i monòtona decreixent tal que . Si
aleshores la sèrie convergeix. Però si la integral divergeix, aleshores la sèrie també ho fa. Dit d'una altra manera, la sèrie convergeix si i només si la integral convergeix. Test de comparació directa. Si la sèrie és absolutament convergent i per a n prou gran, aleshores la sèrie convergeix absolutament. Test de comparació de límits. Si , i el límit existeix i és diferent de zero, aleshores convergeix si i només si convergeix.
Test de condensació de Cauchy. Sigui una seqüència positiva no creixent. Aleshores la suma convergeix si i només si la suma convergeix. A més, si convergeixen, aleshores . Test d'Abel.Suposant que les següents condicions es compleixen:
és una sèrie convergent, és una successió monòtona i limitada
Llavors és també convergent. Noti's que aquest criteri és especialment peritnent i útil en el cas que sigui una successió convergent no absoluta (llegeixi's condicional). Pel cas en què sigui absolutament convergent, tot i aplicar-se, és gairebé un corol·lari evident. Test per a sèries alternades (Criteri de Leibniz) Per a alguns tipus concrets de sèries hi ha tests de convergència més especialitzats; per exemple, per a les sèries de Fourier hi ha el test de Dini.
Vegeu també Regla de L'Hôpital
Enllaços externs Flowchart for choosing convergence test Convergence of infinite series