En matemàtiques, una aplicació lineal és un morfisme entre dos espais vectorials que respecta l'operació suma de vectors i la multiplicació escalar definides en aquests espais vectorials, o, en altres paraules que preserven les combinacions lineals.
Definicions Sigui una aplicació on i són dos -espais vectorials.
Una aplicació que compleixi la primera condició es diu additiva, si, en canvi compleix la segona es diu homogènia.
Propietats Si és una aplicació lineal, , i es compleix:
Si també és una aplicació lineal, aleshores:, també és una aplicació lineal.
Nucli i imatge Sigui S'anomenarà nucli de al subespai vectorial de
S'anomenarà imatge de al subespai vectorial de
Teorema del rang
Teorema d'isomorfisme
Matriu associada a una aplicació lineal Siguin i dos espais vectorials de dimensió finita, i les seves respectives bases i una aplicació lineal, queda definida si es coneixen les coordenades de en la base de :
S'anomena matriu associada a l'aplicació lineal en les bases i
Aquesta matriu ens permet calcular les coordenades de la imatge d'un vector:
Les coordenades de en la base de són:
Composició d'aplicacions lineals Donades dues aplicacions lineals i (on , i són les bases de , i ) amb i com a matrius associades en aquestes bases. Aleshores la matriu és la matriu associada a l'aplicació
Demostració
Canvi de base Sigui una aplicació lineal amb la matriu respecte a les bases i de i i la matriu respecte a les bases i es pot escriure com la següent composició
on és la matriu del canvi de base de a i és la matriu del canvi de base de a .
L'espai dual L'espai dual és l'espai de les aplicacions lineals que van de a .
Les aplicacions lineals a s'anomenen formes, i a l'espai se l'anomena espai dual de , on és el conjunt de totes les aplicacions lineals de a .
és un espai vectorial de la mateixa dimenió que (si té dimensió finita):
Donada una base de , les aplicacions:
On és l'aplicació, és l'element i és la funció delta de Kronecker.
Les aplicacions formen una base de que s'anomena base dual de .
Observació Suposem que i són bases diferents de amb algun vector en comú (suposem que ), aleshores, en les dues bases duals i , i no tenen per què ser iguals.
Proposició Sigui una base de i la seva base dual, les coordenades d'una forma qualsevol en la base són .
Demostració Per tot vector de la base de tenim:
Aplicacions duals Fixada una aplicació lineal i , al compondre un element amb , obtenim un element :
150px|Aplicació dual
Per tant, existeix una aplicació que designarem per aplicació dual de :
i té les següents propietats: Lineal:
Relació entre matrius té per matriu associada en les bases i de i respectivament. tindrà una matriu associada en les dues bases duals i de i respectivament.
Proposició La matriu de l'aplicació dual en les bases duals és la matriu transposada de .
Demostració
Vegeu també funció lineal Àlgebra lineal Estructura lineal dual Forma lineal
Bibliografia