En A.Hurwitz va plantejar, en el seu quadern, en data del 6 de desembre 1918, la pregunta de si era possible que una sèrie de potències
representant una funció diferent de , admetés continuació analítica al llarg d'un camí tancat al voltant de i, a la fi de la continuació, prengués la forma
és a dir, es pot continuar analíticament una funció holomorfa cap a la seva derivada?
La solució de Lewy En H.Lewy va respondre afirmativament, i va donar una solució del problema que presentem aquí en una forma lleugerament modificada.
Es consideri la funció: és holomorfa per i pot ser continuada analíticament als semiplans , de la manera següent: sigui tal que i fem .
Escrivim, per a ,
Aquesta darrera integral, que anomenem , ha de ser calculada sobre la corba definida en posar .
Hom ha per a unes constants reals positives , i , car tendeix a quan .
Així per a hom ha però aquesta darrera integral convergeix en i, doncs, hi defineix una continuació analítica de . Repetim el procediment vegades: això ens dona finalment una continuació analítica de al semiplà ; així doncs, pot ser continuada analíticament a tot punt .
Finalment, si fem la continuació analítica al llarg del camí , obtenim, designant l'element de funció holomorfa obtingut (en un entorn de ) després una volta completa,
Això acaba la presentació de la solució d'aquest problema.
Referències
Bibliografia
Categoria:Anàlisi complexa