miniatura|Espiral sinusoidal amb n=2,5 (línia contínua) i amb n=-2,5 línia de punts. miniatura|Espiral sinusoidal amb n=0,5 (línia contínua) i amb n=-0,5 línia de punts. miniatura|Espiral sinusoidal amb n=3 (línia contínua) i amb n=-3 línia de punts. En geometria, les espirals sinusoidals són una família de corbes definides per l'equació en coordenades polars
on a és una constant diferent de zero i n és un nombre racional diferent de 0. Amb una rotació entorn de l'origen, també es pot escriure
El terme "espiral" és enganyós, perquè no són de fet espirals, i sovint tenen una forma similar a una flor. Moltes corbes conegudes són espirals sinusoidals incloent-hi: Recta ( n = −1) Circumferència (n = 1) Hipèrbola equilàtera ( n = −2) Paràbola (n = −1/2) Cardioide (n = 1/2) Lemniscata De Bernoulli (n = 2) Cúbica de Tschirnhaus (n = −1/3)
Aquestes corbes varen ser estudiades per primera vegada per Colin Maclaurin.
Equacions Derivant
i eliminant a s'obté una equació diferencial en r i θ:
.
Llavors
que implica que l'angle tangencial polar és
i així l'angle tangencial és
.
(Aquí el signe és positiu si i tenen el mateix signe i negatiu altrament.)
El vector unitari tangent
,
té longitud u, per tant comparant la magnitud dels vectors a cada costat de l'equació de dalt dona
.
En particular, la llargada d'un bucle únic quan és:
La curvatura ve donada per
.
Propietats La corba inversa d'una espiral sinusoidal respecte a una circumferència amb centre a l'origen és una altra espiral sinusoidal el valor de n de la qual és el negatiu del valor n de la corba original. Per exemple, la inversa de la lemniscata de Bernoulli és una hipèrbole.
L'isoptica, la podaria i la podaria negativa d'una espiral sinusoidal són espirals sinusoidals diferents.
El camí que segueix una partícula sotmesa a una força central proporcional a una potència de r és una espiral sinusoidal.
Quan n és un enter, i es tracen n punts a intervals regulars sobre una circumferència de radi a, llavors el conjunt de punts tals que la mitjana geomètrica de les distàncies del punt fins als n punts sigui 1 és una espiral sinusoidal. En aquest cas l'espiral sinusoidal és una lemniscata polinòmica
Referències
Yates, R. C.: A Handbook on Curves and Their Properties, J. W. Edwards (1952), "Spiral" p. 213–214 "Sinusoidal spiral" a www.2dcurves.com "Sinusoidal Spirals" a The MacTutor History of Mathematics "Spirale Sinusoïdale" a Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
Categoria:Corbes