En matemàtiques, la fórmula d'Euler és una fórmula atribuïda a Leonhard Euler que estableix una relació fonamental entre les funcions trigonomètriques i l'exponencial: per tot nombre real x se satisfà
on e és el nombre e, base del logaritme natural, i és la unitat imaginària, i cos, sin són les funcions trigonomètriques cosinus i sinus.
miniatura|La fórmula d'Euler il·lustrada en el pla complex
La fórmula pot interpretar-se geomètricament com una circumferència de radi unitari en el pla complex, dibuixada per la funció eix en variar sobre els nombres reals. Així, és l'angle d'una recta que connecta l'origen del pla i un punt sobre la circumferència unitària, amb l'eix positiu real, mesurat en sentit contrari a les agulles del rellotge i en radiants. La fórmula només és vàlida si també el sinus i el cosinus tenen el seu argument en radiants.
La demostració està basada en l'expansió en sèrie de Taylor de la funció exponencial ez (on z és un nombre complex), i l'expansió de sin x i cos x.
La fórmula d'Euler va ser demostrada per primera vegada per Roger Cotes el 1714, redescoberta i popularitzada per Euler el 1748. Cap dels dos descobridors va veure la interpretació geomètrica anterior: la visió dels nombres complexos com a punts en el pla va sorgir uns cinquanta anys més tard (vegeu Caspar Wessel).
La fórmula proporciona una potent connexió entre l'anàlisi matemàtica i la trigonometria. S'usa per a representar els nombres complexos en coordenades polars i permet definir el logaritme per a nombres complexos.
Una propietat important de la fórmula d'Euler és que és l'única funció matemàtica que roman amb la mateixa forma —excepte per la unitat imaginària— amb les operacions d'integració i derivació del càlcul integral, cosa que permet que, en enginyeria elèctrica, s'utilitzi per a convertir equacions diferencials en equacions amb forma algebraica (per exemple en la resolució de circuits amb condensador i bobines), simplificant enormement aquestes operacions.
A partir de la fórmula d'Euler i les operacions amb funcions exponencials, es poden derivar diverses identitats trigonomètriques, així com la fórmula de De Moivre.
Una propietat important de la fórmula d'Euler és que conté dos tipus de simetries: la parella i la imparella.
La fórmula d'Euler també permet interpretar les funcions sinus i cosinus com simples variacions de la funció exponencial:
En les equacions diferencials, la funció eix s'utilitza sovint per a simplificar derivades, fins i tot si la resposta final és una funció real on apareixen sinus o cosinus.
En enginyeria i altres disciplines, els senyals que varien periòdicament s'acostumen a descriure com una combinació de funcions sinus i cosinus (vegeu anàlisi de Fourier), i el resultat es compacta amb l'exponencial complexa, fent servir la fórmula d'Euler.
Història Roger Cotes va descobrir l'any 1714 la relació entre les funcions trigonomètriques i el logaritme,Cotes escribió: "Nam si quadrantis circuli quilibet arcus, radio CE descriptus, sinun habeat CX sinumque complementi ad quadrantem XE ; sumendo radium CE pro Modulo, arcus erit rationis inter & CE mensura ducta in ." (Així, si qualsevol arc d'un quadrant d'una circumferència, descrit pel radi CE, té un sinus CX i sinus del complement al quadrant XE ; prenent el radi CE com a mòdul, l'arc serà la mesura del quocient entre i CE multiplicat per ). És a dir, considerem una circumferència amb centre E (a l'origen del pla (x,y)) i radi CE. Considerem un angle θ amb el seu vèrtex en E que té l'eix x positiu com a costat i un radi CE com l'altre costat. La perpendicular des del punt C del cercle a l'eix x és el "sinus" CX ; la recta entre el centre del cercle E i el punt X al peu de la perpendicular és XE, que és el "sinus del complement al quadrant" o "cosinus". La raó entre i CE és doncs . En la terminologia de Cotes, la "mesura" d'una quantitat és el seu logaritme natural, i el "mòdul" és un factor de conversió que transforma una mesura d'angle en longitud d'arc circular (aquí, el mòdul és el radi (CE) del cercle). Segons Cotes, el producte del mòdul i la mesura (logaritme) del quocient, quan es multiplica per , és igual a la longitud de l'arc circular subtingut per θ, que per a qualsevol angle mesurat en radians és CE - θ. Així, . Aquesta equació té el signe equivocat: el factor de ha d'estar en el costat dret de l'equació, no en el costat esquerre. Si es fa aquest canvi, llavors, després de dividir ambdós costats per CE i exponenciar tots dos costats, el resultat és: , que és la fórmula d'Euler. Vegi's: Roger Cotes (1714) "Logometria," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 29 (338) : 5-45 ; see especially page 32. Available on-line at: Hathi Trust Roger Cotes with Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, England: 1722), chapter: "Logometria", p. 28.Sandifer, C. Edward (2007), Euler's Greatest Hits, Mathematical Association of America
i va ser publicada en la seva obra pòstuma Harmonia mensurarum (1722), 20 anys abans que ho fes Leonhard Euler. Euler va desenvolupar la fórmula utilitzant la funció exponencial en lloc del logaritme i ho va comunicar en una carta a Christian Goldbach l'any 1741, sent publicada i popularitzada en la seva obra Introductio in analysin infinitorum de l'any 1748. Cal notar que cap dels descobridors va veure la interpretació geomètrica assenyalada anteriorment: la visió dels nombres complexos com a punts en el pla va aparèixer l'any 1787 de la mà del matemàtic Caspar Wessel en el seu únic informe per a la Reial Acadèmia Danesa.
Un segle més tard, B. Peirce va concloure la deducció de la fórmula, dient als seus alumnes: «Senyors, amb seguretat aquesta fórmula és certa, tot i que els pugui semblar paradoxal...»N.V. Alexándrova. Diccionario Histórico de notaciones, términos y conceptos de las matemáticas ISBN 978-5-396-00676-8, se distribuye en el Perú.
Johann Bernoulli havia descobert que
I, com que
l'equació anterior parla dels logaritmes complexos en relacionar els logaritmes naturals amb els nombres imaginaris (complexos). No obstant això, Bernoulli no va arribar a avaluar l'integral.
La correspondència de Bernoulli amb Euler (que també coneixia l'equació anterior) mostra que Bernoulli no entenia completament els logaritmes complexos. Euler també va suggerir que els logaritmes complexos poden tenir valors infinits.
Identitat d'Euler De la fórmula d'Euler es deriva el que es coneix com a identitat d'Euler:
Aplicacions Aplicacions en la teoria de nombres complexos miniatura| Fórmula d'Euler il·lustrada en el pla complex.
Interpretació de la fórmula Aquesta fórmula es pot interpretar com que la funció és un nombre complex unitari, és a dir, que traça el cercle unitari en el pla complex a mesura que recorre els nombres reals. Aquí és l'angle que una línia que connecta l'origen amb un punt de la circumferència unitària forma amb l'eix real positiu, mesurat en sentit antihorari i en radians.
La demostració original es basa en les expansions en sèrie de Taylor de la funció exponencial (on és un nombre complex) i de i per a nombres reals . De fet, la mateixa demostració mostra que la fórmula d'Euler és vàlida fins i tot per a tots els nombres complexos .
Un punt del pla complex es pot representar mitjançant un nombre complex escrit en coordenades cartesianes. La fórmula d'Euler proporciona un mitjà de conversió entre coordenades cartesianes i coordenades polars. La forma polar simplifica les matemàtiques quan s'utilitza en multiplicacions o potències de nombres complexos. Qualsevol nombre complex , i el seu conjugat complex, , es pot escriure com on
és la part real,
és la part imaginària,
és la magnitud de i
.
és l'argument de , és a dir, l'angle entre l'eix x i el vector z mesurat en sentit antihorari en radians, que es defineix fins a la suma de . Molts textos escriuen en comptes de φ = atan2(y, x), però la primera equació necessita un ajust quan x ≤ 0. La raó és que per a qualsevol x i y real, que no siguin tots dos zero, els angles dels vectors (x, y) i (−x, −y) difereixen en π radians, però tenen el valor idèntic de .
Ús de la fórmula per definir el logaritme dels nombres complexos Ara, prenent aquesta fórmula derivada, podem utilitzar la fórmula d'Euler per definir el logaritme d'un nombre complex. Per fer això, també fem servir la definició del logaritme (com a operador invers de l'exponenciació): i això ambdues vàlides per a qualsevol nombre complex i . Per tant, es pot escriure: per a qualsevol . Si fem el logaritme d'ambdós costats, es demostra que i, de fet, això es pot utilitzar com a definició del logaritme complex. El logaritme d'un nombre complex és, doncs, una funció multivaluada, perquè és multivaluada.
Finalment, l'altra llei exponencial que es pot veure que es compleix per a tots els enters , juntament amb la fórmula d'Euler, implica diverses identitats trigonomètriques, així com la fórmula de de Moivre.
Relació amb la trigonometria miniatura| Relació entre la funció sinus, cosinus i exponencial La fórmula d'Euler, les definicions de les funcions trigonomètriques i les identitats estàndard per a les exponencials són suficients per derivar fàcilment la majoria d'identitats trigonomètriques. Proporciona una connexió potent entre l'anàlisi i la trigonometria, i proporciona una interpretació de les funcions sinus i cosinus com a sumes ponderades de la funció exponencial:
Les dues equacions anteriors es poden derivar sumant o restant les fórmules d'Euler: i resolent el cosinus o el sinus.
Aquestes fórmules poden servir fins i tot com a definició de les funcions trigonomètriques per a arguments complexos . Per exemple, si deixem , tenim:
A més Les exponencials complexes poden simplificar la trigonometria, perquè són matemàticament més fàcils de manipular que els seus components sinus i cosinus. Una tècnica és simplement convertir els sinus i els cosinus en expressions equivalents en termes d'exponencials, de vegades anomenades sinusoides complexes. Després de les manipulacions, el resultat simplificat encara té valor real. Per exemple:
Una altra tècnica és representar els sinus i els cosinus en termes de la part real d'una expressió complexa i realitzar les manipulacions sobre l'expressió complexa. Per exemple:
Aquesta fórmula s'utilitza per a la generació recursiva de per a valors enters de i arbitrari (en radians).
Si considerem com a paràmetre a l'equació anterior, obtenim una fórmula recursiva per als polinomis de Txebixov de primera espècie.
Interpretació topològica En el llenguatge de la topologia, la fórmula d'Euler estableix que la funció exponencial imaginària és un morfisme (surjectiu) de grups topològics a partir de la recta real al cercle unitari . De fet, això exposa com a espai de cobertura de . De la mateixa manera, la identitat d'Euler diu que el nucli d'aquesta aplicació és , on . Aquestes observacions es poden combinar i resumir en el diagrama commutatiu següent: center|sense marc| La fórmula i la identitat d'Euler combinades en forma d'esquema
Altres aplicacions En les equacions diferencials, la funció s'utilitza sovint per simplificar solucions, fins i tot si la resposta final és una funció real que implica el sinus i el cosinus. La raó d'això és que la funció exponencial és la funció pròpia de l'operació de diferenciació.
En enginyeria elèctrica, processament de senyals i camps similars, els senyals que varien periòdicament al llarg del temps sovint es descriuen com una combinació de funcions sinusoidals (vegeu anàlisi de Fourier), i aquestes s'expressen més convenientment com la suma de funcions exponencials amb exponents imaginaris, utilitzant la fórmula d'Euler. A més, l'anàlisi fasorial dels circuits pot incloure la fórmula d'Euler per representar la impedància d'un condensador o d'un inductor.