miniatura|
En matemàtiques, una lemniscata polinòmica o corba de nivell polinòmica és una corba algebraica plana del grau 2n, construïda a partir d'un polinomi p amb coeficients complexos de grau n.
Per a qualsevol tal polinomi p i nombre real positiu c, es pot definir un conjunt de nombres complexos amb Aquest conjunt de nombres es poden equiparar a punts en el pla cartesià, que porten a una corba algebraica ƒ(x,y) = c² de grau 2n, que resulta de desenvolupar en termes de z = x + iy.
Quan p és un polinomi del grau 1 llavors la corba que resulta és simplement una circumferència el centre de la qual és el zero de p. Quan p és un polinomi del grau 2 llavors la corba és un Oval de Cassini.
Lemniscata d'Erdős miniatura|Erdős lemniscate of degree ten and genus six
miniatura|Lemniscata Erds del grau deu i gènere sis
Una conjectura d'Erdős que ha atret interès considerable fa referència a la màxima llargada d'una lemniscata polinòmica ƒ(x,y) = 1 de grau 2n quan p és monic, que Erdős conjecturava que s'assolia quan p(z) = zn − 1. En el cas quan n = 2, la lemniscata Erdős és la lemniscata de Bernoulli
i s'ha demostrat que aquesta és en efecte la llargada màxima en grau quatre. La lemniscata Erdős té tres punts de n-pleg ordinaris, un dels quals és a l'origen, i un gènere de (n − 1)(n − 2)/2. Invertint la lemniscata Erdős respecte de la circumferència unitat, s'obté una corba no singular de grau n.
Lemniscata polinòmica genèrica En general, una lemniscata polinòmica no tocarà a l'origen, i tindrà només dues singularitats ordinàries n-pleg, i per això un gènere (n − 1)². Com a corba real, pot tenir un cert nombre de components desconnectats. Per això, no s'assemblarà a una lemniscata, fent que el nom no sigui gaire escaient.
miniatura|Corba de Mandelbrot M₂ de grau vuit i gènere nou
miniatura|Lemniscates de Mandelbrot 1–6 per a Er = 2
Un exemple interessant de tals lemniscates polinòmiques són les corbes de Mandelbrot. Si es fixa p0 = z, i pn = pn −1² + z, llavors les lemniscates polinòmiques corresponents Mn definides per|pn(z)| = Er convergeixen la frontera del conjunt de Mandelbrot. Si Er < 2 queden dins, si Er ≥ 2 a fora del conjunt de Mandelbrot.
Referències Alexandre Eremenko and Walter Hayman, On the length of lemniscates, Michigan Math. J., (1999), 46, núm. 2, 409–415
O. S. Kusnetzova and V. G. Tkachev, Length functions of lemniscates, Manuscripta Math., (2003), 112, 519–538
"Cassinian curve" a Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
Categoria:Corbes