miniatura|400px|Dos cossos de masses semblants que interactuen per medi de la força gravitatòria orbiten al voltant del seu centre de masses en òrbites el·líptiques. En mecànica clàssica, el problema dels dos cossos té per objectiu determinar el moviment de dues partícules puntuals que només interactuen entre si mitjançant un camp central com el gravitatori i l'elèctric.
Les lleis de Newton permeten reduir el problema dels dos cossos a un problema d'un cos equivalent, és a dir, resoldre el moviment d'una partícula sotmesa a un camp gravitatori o elèctric conservatiu i que per tant deriva d'un potencial extern. Atès que el problema es pot resoldre de forma exacta, el problema dels dos cossos corresponent també es pot resoldre amb exactitud. Per contra, el problema dels tres cossos (i, més generalment, el problema dels n cossos amb ) no pot es pot resoldre analíticament de forma exacta, excepte en casos especials, i se sol recórrer a mètodes numèrics.
Descripció del problema Siguin dos cossos de masses gravitacionals i inercials i separats per una distància i amb un vector posició que va de la massa a la , i que interaccionen per efecte de la gravetat. La llei de gravitació universal de Newton indica que la força de la gravetat entre els dos cossos és:
on és la constant de la gravitació i i són les masses gravitacionals (les que produeixen atracció gravitatòria). Les dues forces tendran les següents expressions (on ):
Per altra banda, la segona llei de Newton determina que les forces, en general, són iguals a la variació del moment lineal respecte del temps . Si la massa inercial del cos no varia, la força és igual a la massa inercial per la derivada de la velocitat respecte del temps, , és a dir, a l'acceleració, que es pot escriure com la segona derivada del vector posició . Per tant la segona llei de Newton es pot expressar de les següents maneres: .
En el cas dels dos cossos de masses i , les posicions dels quals són i (coordenades de Jacobi) respecte d'un cert sistema de referència inercial, cada un experimenta la força d'atracció de l'altre i hom pot escriure les dues equacions següents d'acord amb la segona llei de Newton i on i són les masses inercials (les que s'oposen a canvis de moviment):miniatura|Coordenades de Jacobi en el problema dels dos cossos; les coordenades són i on .
on és la força gravitatòria que experimenta la a causa de la seva interacció amb la ; és la força que experimenta la a causa de la seva interacció amb la ; i representen la derivada segona respecte el temps de la posició dels cossos 1 i 2 respectivament, o sigui, les corresponents acceleracions i .
Moviment de les dues masses La suma de les equacions () i () dona lloc a una equació que descriu el moviment del centre de masses (baricentre) del sistema. La resta de la equació () de la () produeix una equació que descriu la variació amb el temps del vector entre les dues masses. Les solucions d'aquestes dues equacions independents de problemes d'un cos poden combinar-se per a obtenir les trajectòries i .
Moviment del centre de masses (primer problema d'un cos) Exemple: El sistema Plutó-Caront
miniatura|250x250px|Les primeres pel·lícules en color de la missió New Horizons de la NASA del sistema Plutó-Caront.|center
La distància que separa el planeta nan Plutó del seu satèl·lit Caront és de i les masses de cadascun són:
Plutó: Caront: .
Agafant com a origen de referència el centre de Plutó i com eix X el de la recta que l'uneix amb Caront, el centre de masses ve donat per:
Per tant a de Plutó en la línia que uneix Plutó amb Caront, i a de Caront.
miniatura|400x400px|Simulació del sistema Plutó-Caront.|center
La massa reduïda és inferior a la de Caront, que és la més petita de les dues:
miniatura|400x400px|center
La trajectòria de Caront és circular al voltant del centre de masses situat a d'ell. Per tant, hi ha una força centrípeta que val:
Per altra banda la força gravitatòria és:
Igualant i simplificant:I aïllant el període de Caront queda:
Experimentalment se sap que el període és de 6,387 d. I també ho és el de Plutó, ja que Plutó, Caront i el centre de masses sempre estan damunt la mateixa recta
La suma de les dues equacions () i () produeix:
on s'ha emprat la tercera llei de Newton, que diu que les forces entre dues partícules que interaccionen tenen la mateixa direcció i mòdul i sentits contraris. Per tant es compleix que: .
Per tant,
Els vectors acceleració tenen sentits oposats i són inversament proporcionals a les masses inercials del cos.
Si s'empra la posició del centre de masses (punt de l'espai on es pot considerar concentrada la massa d'un sistema.) definit com:
La segona derivada és:
Si se substitueix el numerador de la fracció pel resultat de l'equació () i reordenant resulta:
Per tant es compleix que:
i mostra com la velocitat del centre de masses és constant, ja que la seva derivada és zero (no canvia amb el temps ni en direcció, ni en sentit ni en mòdul). En conseqüència, el centre de masses pot ser el centre d'un sistema de referència inercial, amb una velocitat constant que ve donada per:
d'on s'extreu que la quantitat de moviment total del sistema també es constant (conservació del moment). Per tant, la posició del centre de masses pot ser determinada en qualsevol instant de temps a partir de les posicions i velocitats inicials.
Moviment del vector de desplaçament (segon problema d'un cos) Restant l'equació () de l'equació () i operant, s'obté:
on s'ha emprat segons la tercera llei de Newton.
El vector de posició relativa entre les dues masses és d'on s'obté que i l'equació pot reescriure's com:
on és la massa reduïda que ve definida per:
on . Hom pot comprovar fàcilment que sempre és menor que i que (d'aquí el nom). Si , aleshores té un valor molt proper a . Per tant, la massa reduïda per al sistema Terra-Sol és gairebé exactament la massa de la Terra. D'altra banda, si , aleshores òbviament .
Moviment de les dues masses Les equacions d' i permeten obtenir finalment les equacions de moviment de cada un dels dos cossos del sistema:
miniatura|Dos cossos amb una petita diferència de massa orbitant al voltant del seu centre de massa (CM),
Ambdues equacions es verifiquen de forma senzilla mitjançant la substitució en elles d' i .
Derivant respecte del temps s'obtenen les velocitats d'ambdós cossos:
Essent la velocitat relativa
L'energia cinètica del sistema és la suma de les energies cinètiques de les dues masses, que es pot posar en funció de la velocitat relativa:
i emprant la massa reduïda :
Aquest resultat és important perquè mostra que l'energia cinètica és la mateixa que la de dues partícules «fictícies», una de massa (la massa total del sistema) que es mou amb la velocitat del centre de masses, i l'altra de massa (la massa reduïda) que es mou amb la velocitat de la posició relativa .
L'energia mecànica, suma de la cinètica i la potencial, relativa al centre de masses () és:
Interpretació física del sistema reduït miniatura|Ambdues masses i giren al voltant del seu centre de massa (creu vermella), però en un sistema de referència en què (la major, per exemple) està en repòs, el moviment de (la menor) és el d'una partícula de massa inercial sotmesa a la força exercida per sobre . El sistema simplificat es descriu mitjançant un vector de posició , que està restringit a situar-se en un pla mentre està sota la influència del potencial extern . Per entendre el significat del vector hom pot escriure els vectors de posició dels dos cossos, mesurats respecte al centre de massa:
Cal tenir en compte que els vectors i són els vectors de posició de i en un sistema de coordenades on el centre de masses està situat a l'origen d'aquest sistema de referència. A partir de les expressions anteriors, hom pot veure que en aquest sistema de coordenades, el vector apunta des de la massa cap a la massa . De la mateixa manera, el vector apunta des de la massa , cap a la massa . Tanmateix, cal observar que no té la mateixa longitud que els vectors de posició, només dóna les direccions de correcció. Els factors de i escalen la longitud de per tal de donar els vectors de posició correctes i .
Ambdues masses i giren al voltant del seu centre de massa comú, però en un sistema de referència en què està en repòs, el moviment de és el d'una partícula de massa inercial sotmesa a la força exercida per sobre (llei de la gravitació universal amb les masses gravitacionals).
En particular, quan la massa del segon cos és molt més gran que la del primer, com és el cas de la Terra en òrbita al Sol, la d'unsatèl·lit artificial al voltant de la Terra, etc:
Propietats del moviment El moviment de dos cossos és pla miniaturaEl moviment de dos cossos que interactuen entre si sempre està en un pla.
El moment angular del sistema, s'expressa com la suma dels dos moments angulars, un de cada massa:
on és el moment lineal i denota un producte vectorial.
Si s'agafa com a sistema de referència el centre de masses (CM) és i , i els vectors posició són ara i , en lloc de i . Per tant queda:
Aquest resultat diu que el moment angular total al sistema CM és exactament igual que el moment angular d'una única partícula de massa i posició .
La variació del moment angular amb el temps és igual al moment de força :
on:
La força entre les dues partícules està en la mateixa línia que les uneix i és paral·lela al radi vector, . Per tant, utilitzant la propietat del producte vectorial que estableix que el producte vectorial de dos vectors que apunten a la mateixa direcció és nul, ,
El moment angular és constant (es conserva). Per tant, el vector de desplaçament i el vector de velocitat sempre es troben en un pla perpendicular al vector constant .
Equació de la trajectòria En coordenades polars, l'energia i el moment angular respecte del centre de masses són:
En coordenades polars l'equació de la trajectòria s'obté eliminant el temps entre ambdues equacions:
Integrant s'obté que:
on: i l'excentricitat orbital val
Referències
Vegeu també Lleis de Kepler Gravitació Problema dels tres cossos
Bibliografia
Categoria:Mecànica celeste