miniatura|Representació de les coordenades polars, angles expressats en graus El sistema de coordenades polars és, en matemàtiques, un sistema de coordenades de dues dimensions en el qual cada punt en un pla està determinat per un angle i una distància. El sistema de coordenades polars és especialment útil quan la relació entre dos punts s'expressa més bé en termes d'angles i distàncies. En el sistema més conegut, el cartesià o de coordenades rectangulars, aquestes relacions cal trobar-les a partir de les funcions trigonomètriques.
Com que el sistema de coordenades és de dues dimensions, cada punt ve determinat per dues coordenades polars: la coordenada radial i la coordenada angular. La coordenada radial (normalment denotada per r) denota la distància del punt al punt central (conegut com a pol i equivalent a lorigen en el sistema cartesià). La coordenada angular (també anomenada angle polar o angle azimutal, i normalment denotat per θ o t) denota l'angle positiu (o angle mesurat en sentit antihorari) per arribar al punt a partir de l'eix polar o radi de 0° (que és equivalent a l'eix x positiu en les coordenades cartesianes).
Història
Els conceptes d'angle i de radi varen ser estudiats pels pobles antics del primer mil·lenni abans de la nostra era. L'astrònom Hiparc de Nicea va crear una taula de la funció corda que donava la longitud de la corda per a cada angle, i hi ha referències que feia servir coordenades polars per establir les posicions estel·lars. En l'obra De les espirals, Arquimedes descriu l'espiral d'Arquimedes, una funció en la qual el radi creix linealment amb l'angle. Ara bé, el treball grec no es va estendre fins a un sistema complet de coordenades.
Hi ha diverses relacions de la introducció de les coordenades polars com a part d'un sistema formal de coordenades. La història completa de la qüestió es descriu a Origin of Polar Coordinates. Grégoire de Saint-Vincent i Bonaventura Cavalieri varen introduir independentment els conceptes a mitjans del segle disset. Saint-Vincent ho va escriure en privat el 1625 i va publicar el seu treball el 1647, mentre que Cavalieri va publicar el seu el 1635 amb una versió corregida que va aparèixer el 1653. Cavalieri va ser el primer a fer servir les coordenades polars per resoldre un problema referent a l'àrea dins d'una espiral d'Arquimedes. Més tard, Blaise Pascal va fer servir les coordenades polars per calcular la longitud de l'arc de la paràbola.
En l'obra Method of Fluxions (Mètode de les fluxionsescrit el 1671, publicat el 1736), Isaac Newton examina les transformacions entre coordenades polars (de les quals ell en diu la "Setena Manera Per les Espirals", i uns altres nou sistemes de coordenades. En la revista Acta Eruditorum (1691), Jacob Bernoulli feia servir un sistema amb un punt sobre una línia, anomenats pol i eix polar respectivament. Les coordenades s'especificaven per la distància al pol i l'angle respecte a leix polar. El treball d'en Bernoulli s'estén a trobar el radi de curvatura de corbes expressades en aquest sistema de coordenades.
El terme actual coordenades polars s'ha atribuït a Gregorio Fontana i el feien servir els escriptors italians del segle 18. Alexis Clairaut va ser el primer a pensar en coordenades polars en tres dimensions, i Leonhard Euler va ser el primer a desenvolupar-les.
Representació dels punts en coordenades polars miniatura|Els punts (3,60°) i (4,210°) en un sistema de coordenades polars Cada punt en un sistema de coordenades polars es pot descriure amb les dues coordenades polars, les quals es diuen habitualment (la coordenada radial) i θ (la coordenada angular, angle polar, o angle azimutal, que de vegades es representa com φ o ). La coordenada representa la distància radial al pol, i la coordenada θ representa l'angle (mesurat en sentit contrari de les agulles del rellotge) respecte del radi d'angle 0° (anomenat de vegades l'eix polar), conegut com la part positiva de l'eix x en el sistema de coordenades cartesià.
Per exemple, les coordenades polars (3, 60°) indiquen el punt ubicat a 3 unitats de distància del pol sobre el radi que forma 60° respecte de la part positiva de l'eix x. Les coordenades (−3, 240°) també indiquen aquest mateix punt perquè una distància radial negativa s'identifica amb una distància positiva mesurada sobre el radi oposat (el radi reflectit respecte de l'origen, que es diferencia de l'original en un gir de 180°).
Un aspecte important del sistema de coordenades polar, que no es dona en el sistema de coordenades cartesianes, és que un únic punt es pot expressar amb un nombre infinit de coordenades diferents. Això és a causa del fet que es pot donar un nombre qualsevol de voltes senceres entorn del pol sense afectar la posició dels punts representats. En general, el punt (, θ) es pot representar com (, θ ± ×360°) o (−, θ ± (2 + 1)180°), on és qualsevol enter.
Les coordenades (0, θ) es fan servir, per convenció, per representar el pol, atès que independentment de la coordenada θ, qualsevol punt sobre un radi de longitud 0 estarà sempre al pol. Per obtenir una representació única de cada punt, és habitual de limitar als nombres no negatius ≥ 0 i θ a l'interval [0, 360°) o (−180°, 180°] (o, en radians, [0, 2π) o (−π, π]).
Els angles, quan es fa servir la notació polar, en general s'expressen tant en graus com en radians, fent servir la conversió 2π rad = 360°. La tria depèn fonamentalment del context. En navegació marítima es fan servir els graus, mentre que en algunes aplicacions en física (especialment en mecànica de rotació) i gairebé tota la literatura sobre càlcul infinitesimal fan servir els radians.
Conversió entre coordenades polars i coordenades cartesianes miniatura|Diagrama que il·lustra la relació entre coordenades polars i cartesianes. Les dues coordenades polars i θ es poden convertir en les coordenades cartesianes i emprant les funcions trigonomètriques sinus i cosinus:
Per transformar les dues coordenades cartesianes i en coordenades polars i cal fer el següent. Per a la es pot aplicar el teorema de Pitàgores:
.
Per determinar la coordenada angular θ, s'ha de tenir en compte el següent: Per a = 0, es pot fixar θ com qualsevol nombre real. Per a ≠ 0, s'ha de limitar el valor de θ a un valor en un interval de mida 2π perquè hi hagi una representació única per a θ. Normalment es fan servir els intervals [0, 2π) i (−π, π].
A fi d'obtenir θ en l'interval [0, 2π), es pot fer servir el següent (on denota la inversa de la tangent):
A fi d'obtenir θ en l'interval (−π, π], es pot fer servir el següent
Equacions polars D'una equació que defineix una corba algebraica expressada en coordenades polars, se'n diu equació polar. En molts casos, aquesta equació es pot especificar a base de definir com una funció de θ. Llavors, la corba que en resulta consisteix en punts de la forma ((θ), θ) i pot ser considerada com la gràfica de la funció polar .
A partir de l'equació d'una funció polar es poden deduir diferents formes de simetria. Si (−θ) = (θ) la corba serà simètrica respecte del radi horitzontal (0°/180°), si (π−θ) = (θ) serà simètrica respecte del radi vertical (90°/270°), i si (θ−α°) = (θ) tindrà simetria de rotació α° en sentit contrari de les agulles del rellotge al voltant del pol.
A causa de la naturalesa circular del sistema de coordenades polars, moltes corbes es poden descriure amb una equació polar bastant simple, mentre que la seva forma cartesiana és molt més complicada. Entre les més conegudes d'aquestes corbes hi ha la rosa, l'espiral d'Arquimedes, la Lemniscata, el cargol de Pascal, i la cardioide.
Per al cas del cercle, la recta que passa pel pol, i la rosa que s'estudien tot seguit, s'ha d'entendre que no hi ha restriccions ni en el domini ni en el recorregut de les corbes.
Cercle miniatura|Un cercle d'equació (θ) = 1 L'equació general d'un cercle amb centre a (0, φ) i de radi és
Això es pot simplificar de diverses maneres, per ajustar-se a casos més específics, com ara l'equació
Per al cas d'un cercle amb centre al pol i radi .
Recta Les línies rectes Radials (les que passen pel pol) es representen per l'equació , on φ és l'angle d'elevació de la línia; és a dir, φ = arctan on és el pendent de la recta en el sistema de coordenades cartesianes. La recta no radial que talla la recta radial θ = φ perpendicularment al punt (0, φ) té per equació
Rosa miniatura|Una rosa d'equació (θ) = 2 sin 4θ Una rosa és una famosa corba matemàtica que sembla els pètals d'una flor, i que es pot expressar amb una equació polar senzilla,
Per a qualsevol constant (incloent-hi 0). Si k és un enter, aquestes equacions produeixen una rosa de k pètals si k és senar, o una rosa amb 2k pètals si k és parell. Si k és racional però no és enter, es genera una forma similar a una rosa però amb els pètals encavalcant-se. Fixeu-vos que aquestes equacions mai defineixen una rosa amb 2, 6, 10, 14, etc. pètals. La variable independent a representa la longitud dels pètals de la rosa.
Hèlix miniatura|k = 3 miniatura|k = 5 Una hèlix és una corba matemàtica que sembla l'hèlix d'un vaixell, i que es pot expressar amb una equació polar senzilla,
Aquestes equacions produeixen una hèlix de k pales, independentment de si k és parell o senar.
Espiral d'Arquimedes miniatura|Un braç d'una espiral d'Arquimedes d'equació r(θ) = θ per 0 < θ < 6π L'espiral d'Arquimedes és una espiral famosa que va ser descoberta per Arquimedes, la qual també es pot expressar amb una equació polar senzilla. Es representa per l'equació
Canviant el paràmetre a es fa girar l'espiral, mentre que b controla la distància entre els braços, la qual per una espiral donada és constant. L'espiral d'Arquimedes té dos braços, un per θ > 0 i un altre per θ < 0. Els dos braços es connecten suaument al pol. Prenent la imatge especular d'un braç respecte de la recta de 90°/270° s'obté l'altre braç. Aquesta corba és notable per ser una de les primeres corbes, després de les còniques que es va descriure als tractats de matemàtiques, i per ser el primer exemple d'una corba que es defineix millor per la seva equació polar.
Altres espirals miniatura|a= 0.5 ;k = 3 ;j = 100 Aquí es pot veure una curiosa funció en coordenades polars, que genera una espiral oscil·latòria del tipus d'Arquimedes, que presenta un període primari de 2k i un secundari de j.
Còniques miniatura|El·lipse, indicant el semi-latus rectum Una cònica amb un focus al pol i l'altre en algun lloc del radi de 0° (de forma que el semieix major cau damunt de l'eix polar) ve donada per:
on e és l'excentricitat i és el semi-latus rectum (la distància mesurada sobre la perpendicular a l'eix major que passa pel focus entre el focus i la corba). Si e > 1, aquesta equació defineix una hipèrbola; si e = 1, defineix una paràbola; i si e < 1, defineix una el·lipse. El cas especial de l'el·lipse en què e = 0 en resulta una circumferència de radi .
Nombres complexos miniatura|Una il·lustració d'un nombre complex representat en el pla complex. miniatura|Una il·lustració d'un nombre complex representat al pla complex fent servir la fórmula d'Euler. Cada nombre complex es pot representar com un punt del pla complex i, per tant, es pot expressar tant especificant les seves coordenades cartesianes (anomenada forma rectangular o cartesiana) com especificant les seves coordenades polars (anomenada la forma polar). El nombre complex z es pot representar en forma rectangular com
on i és la unitat imaginària, o alternativament es pot escriure en forma polar (via la fórmula de conversió donada més amunt) com
I a partir d'aquí com
on e és la constant d'Euler, les quals són equivalents tal com es demostra per la fórmula d'Euler. (Fixeu-vos que aquesta fórmula, igual que totes les que impliquen exponencials d'angles, dona per suposat que l'angle s'expressa en radians). Per convertir un complex de la forma rectangular a la polar o viceversa, es poden fer servir les fórmules donades més amunt.