Un grup de dos elements és un grup finit que té dos elements. Per això, diem que és d'ordre 2.
Ara veurem l'estructura d'un grup finit de dos elements.
Sigui H=({a, b}; *) un grup.
Ha de tenir element neutre (e), que ha de ser o a o b. Considerem-lo a. Per tant, a*a=a i a*b=b*a=b, atès que l'operació entre qualsevol nombre i l'element neutre dona el mateix nombre. L'element b ha de tenir element invers, que haurà de ser ell mateix, és a dir b*b=a. (Observem que b*b no pot ser b perquè això només ho compleix l'element neutre, que és únic, i en aquest cas ho és a).
+Estructura* a ba a bb b a
Ens cal comprovar que l'operació és associativa: Hem de veure: a*(b*b)=(a*b)*b b*(a*b)=(b*a)*b a*(a*b)=(a*a)*b b*(b*a)=(b*b)*a b*(a*a)=(b*a)*a a*(b*a)=(a*b)*a
Anem a comprovar-ho: a*(b*b)=a*a=a i (a*b)*b=b*b=a b*(a*b)=b*b=a i (b*a)*b=b*b=a a*(a*b)=a*b=b i (a*a)*b=a*b=b b*(b*a)=b*b=a i (b*b)*a=a*a=a b*(a*a)=b*a=b i (b*a)*a=b*a=b a*(b*a)=a*b=b i (a*b)*a=b*a=b
Propietat: un grup finit de dos elements és un grup abelià.
Exemples Sigui A=({1, -1}; ·):
+Estructura· 1 -11 1 -1-1 -1 1 L'element neutre (e) és 1. Per tant, 1·1=1; i 1·(-1)=(-1)·1=-1. L'element invers d'1 és 1. I l'element invers de -1 és -1, ja que (-1)·(-1)=1. Compleix la propietat associativa: 1·[(-1)·(-1)]=[1·(-1)]·(-1)=1 (-1)·[1·(-1)]=[(-1)·1]·(-1)=1 1·[1·(-1)]=(1·1)·(-1)=-1 (-1)·[(-1)·1]=[(-1)·(-1)]·1=1 (-1)·(1·1)=[(-1)·1]·1=-1 1·[(-1)·1]=[1·(-1)]·1=-1
Sigui G=[ = Matriu identitat d'ordre 2, A= ; ·=producte de matrius]. (G; ·) és un grup.
Sigui H=[ = Matriu identitat d'ordre 2, A= ; ·=producte de matrius]. (H; ·) és un grup.
Sigui K=[{f(x)=x(funció identitat),g(x)=1/x}; = composició de funcions ]. (K; )
Vegeu també Llista de grups petits Grup finit d'un element Grup finit de tres elements
Categoria:Teoria de grups