En matemàtiques, el nombre 0,999… amb el 9 com un nombre decimal periòdic,També es pot escriure amb un circumflex , amb una barra , amb un punt , o entre parèntesis denota el nombre natural u. En altres paraules, les notacions «0,999…» i «1» representen el mateix nombre en el sistema de nombres reals. Les demostracions d'aquesta igualtat s'han formulat amb diversos graus de rigor matemàtic, depenent del mètode preferit per a definir els nombres reals, les hipòtesis i suposicions de partida, el context històric i l'audiència d'objectiu.
Certs nombres reals es poden representar amb més d'una cadena de dígits i aquest fet no és un cas que es limiti al sistema decimal. El mateix fenomen succeeix en totes les bases d'enters, i els matemàtics també han quantificat les formes per a escriure 1 en bases no enteres. Aquest tampoc no és un fenomen únic de l'1: tots els nombres diferents de zero amb una representació decimal finita tenen un bessó periòdic pur acabat en xifres decimals iguals a 9, com 28,3287 i 28,3286999… Per a simplificar-ho, el decimal finit és gairebé sempre la representació preferida, i això contribueix interpretar erròniament que sigui lúnica representació. Fins i tot de manera més general, qualsevol sistema de numeració posicional conté una quantitat infinita de nombres amb representacions múltiples. Aquestes diverses identitats s'han aplicat d'aquesta manera per a entendre més bé els patrons en les expansions decimals de fraccions i l'estructura d'un fractal simple, el conjunt de Cantor. També apareixen en la investigació ja clàssica de la infinitat del conjunt sencer dels nombres reals.
La igualtat ha estat acceptada durant molt de temps pels matemàtics professionals i s'ha ensenyat en els llibres de text. En les darreres dècades, els experts en l'ensenyament de matemàtiques han estudiat la percepció d'aquesta igualtat entre els estudiants, molts dels quals inicialment la qüestionen o la rebutgen. Molts es basen en una apel·lació a l'autoritat d'acord amb determinats llibres de text i professors, o per raonaments aritmètics com els de no acceptar que tots dos siguin iguals. Tanmateix, alguns sovint se senten prou molestos per a buscar una altra justificació. El raonament dels estudiants per a negar o afirmar la igualtat es basa típicament en un error —d'entre uns quants errors comuns—, provocat pel comportament contrari a la intuïció dels nombres reals. Per exemple, que cada nombre real té una expansió decimal única, que els nombres reals infinitesimals diferents de zero haurien d'existir, o que l'expansió de 0,999… finalment acaba.
Es poden construir sistemes de nombres que compleixin algunes d'aquestes intuïcions, i en alguns d'aquests sistemes la igualtat és falsa. Cal considerar que aquests sistemes de nombres són diferents del sistema de nombres reals estàndard que es fa servir en matemàtica elemental, i que ja s'ha comentat. En efecte, algunes construccions de nombres contenen nombres que són «infinitesimalment» a prop d'1; generalment no estan relacionats amb 0,999…, però són d'interès considerable en anàlisi matemàtica.
Consideracions prèvies 0,999… és un nombre escrit en el sistema de numeració decimal, i algunes de les proves més senzilles que afirmen que es basen en les propietats aritmètiques d'aquest sistema. La majoria d'operacions de suma, resta, multiplicació, divisió, i manipulacions de comparació fan servir algun tipus de manipulació pel que fa a dígits que són molt semblants a les que es fan amb nombres enters. Com en el cas dels enters, dos decimals qualssevol finits amb dígits diferents signifiquen nombres diferents, sempre ignorant els zeros de la dreta. En particular, qualsevol nombre de la forma 0,99…9, on les xifres 9 finalment s'aturen, és estrictament menor que 1.
Malinterpretar el significat de l'ús dels "…" (punts suspensius) en l'expressió numèrica 0,999… genera un malentès amb relació a la seva igualtat a 1. L'ús, aquí, és diferent del que es fa servir en la llengua o en l'expressió 0,99…9, on els punts suspensius especifiquen que una porció aproximadament «finita» es deixa sense manifestar o és omesa. Quan "…" es fa servir per especificar un decimal periòdic, vol dir que una porció «infinita» s'ha deixat sense manifestar; aquesta afirmació només es pot interpretar com un nombre fent servir el concepte matemàtic de límits. Com a resultat, en l'ús matemàtic convencional el valor assignat a la notació "0,999…" es defineix com el nombre real que és el límit de la successió convergent (0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; etc.).
A diferència del que succeeix amb els enters i els decimals finits, notacions diferents també poden expressar de maneres múltiples un únic nombre. Com, per exemple, fent servir fraccions = . Els decimals infinits, tanmateix, poden expressar el mateix nombre com a màxim de dues maneres diferents. Si hi ha dues maneres, llavors una d'elles ha d'acabar amb una sèrie infinita de xifres 9, i l'altra consta d'una sèrie de zeros que es repeteixen a partir d'un cert punt.
Hi ha moltes demostracions que conclouen que 0,999… = 1, amb diversos graus de rigor matemàtic. Un breu esbós d'una prova rigorosa es pot expressar simplement de la manera següent: considereu que dos nombres reals siguin idèntics si i només si la seva diferència és igual a zero. La majoria de les persones acceptarien que la diferència entre 0,999… i 1, si és que existeix, ha de ser molt petita. Considerant la convergència de la seqüència de dalt, es pot demostrar que la magnitud d'aquesta diferència ha de ser més petita que qualsevol quantitat positiva, i es pot demostrar que l'únic nombre real amb aquesta propietat és el 0.Per a més detalls, vegeu propietat arquimediana. Com la diferència és 0 es pot concloure que els nombres 1 i 0,999… són idèntics. El mateix argument també explica per què 0,333… = , 0,111… = , etc.
Demostracions Algebraiques Fraccions i divisió euclidiana Una raó per la qual els decimals infinits són una ampliació necessària dels decimals finits és que serveixen per representar fraccions. Utilitzant l'algorisme de dividir, una divisió simple d'enters com esdevé un decimal periòdic, 0,333…, en el qual els dígits es repeteixen sens fi. Aquest decimal produeix una demostració ràpida del tipus . La multiplicació de 3 per 3 dona 9 a cada dígit; així, . I també ; d'aquesta manera .Vegeu (i compareu) la versió binària del mateix argument a Silvanus P. Thompson, Calculus Made Easy (El càlcul fet fàcil)
Una altra forma d'aquesta prova multiplica per 9. {| style="wikitable" | |width="25px"| |width="25px" style="border-left:1px solid silver;"|
Una versió més compacta de la mateixa prova l'expressen les equacions següents:
Com que les dues equacions són vàlides, 0,999…, s'ha d'igualar a 1 (per la propietat transitiva). De manera similar , i . Així 0,999… s'ha d'igualar a 1.
Manipulació de dígits Hi ha una altra classe de prova que s'adapta més fàcilment a altres decimals que es repeteixen. Quan un nombre en notació decimal es multiplica per 10, els dígits no canvien, però el separador decimal es desplaça un lloc a la dreta. Així, «10 × 0,999… = 9,999…» i el resultat és nou unitats més gran que el nombre original.
Per veure-ho, es resta 0,999… de 9,999… i es pot continuar dígit a dígit; en cada un dels dígits després del separador decimal el resultat és «9 − 9», que dona com a resultat 0. Però afegint zeros a la dreta de la coma no modifica un nombre i, per tant, la diferència és exactament 9. El pas final fa servir operacions d'àlgebra. Sia el nombre decimal en qüestió (0,999…) al que anomenem x; llavors «10x − x = 9». Això és el mateix que «9x = 9». Dividint els dos costats entre 9 completa la prova: «x = 1». Tot això, escrit com una seqüència d'equacions es presenta:
La validesa de les manipulacions de dígits de les dues proves anteriors no s'han d'acceptar per una qüestió de fe o com un axioma; deriven de la relació fonamental entre els decimals i els nombres que representen. Aquesta relació, que es pot desenvolupar d'unes quantes maneres equivalents, ja estableix que els decimals 0,999… i 1,000… representen el mateix nombre.
Analítica Com que la qüestió de 0,999… no afecta el desenvolupament formal de les matemàtiques, es pot ajornar fins que es demostrin els teoremes estàndards de l'anàlisi real. Uns requisits necessaris són caracteritzar els nombres reals que es poden escriure en notació decimal —que està compost per un signe opcional—, en una seqüència finita de qualsevol nombre de dígits que formen una part entera, en un separador decimal, i en una seqüència de dígits que formen una part fraccionària. Per tal de parlar de 0,999… la part entera es pot resumir com b0 i es poden negligir els negatius. D'aquesta manera una expansió decimal té la forma
És vital que la part fraccionària, a diferència de la part entera, no estigui limitada a un nombre finit de dígits; això és una notació posicional. D'aquesta manera, per exemple, el 5 en 500 contribueix amb deu vegades més que el 5 en 50, i el 5 en 0,05 contribueix amb una desena part com el 5 en 0,5.
Sèrie Infinita i successions El desenvolupament d'expansions decimals més habitual és, probablement, el de definir-les com a sumes de sèries infinites. En general:
Per a 0,999… es pot aplicar el teorema de convergència pel que fa a la sèrie geomètrica:Rudin, pàg. 61Teorema, pàg. 26J. Stewart, pàg. 706 Si llavors
Com que 0,999… és una suma donada amb una raó comuna , el teorema resol la qüestió:
Aquesta demostració (de fet, que 10 és igual a 9,999…) apareix ja l'any 1770 als Elements d'àlgebra de Leonhard Euler.Euler, pàg. 170 miniatura|esquerra|Exemple de límits. L'interval unitat, incloent-hi la successió decimal en base 4 (0,3; 0,33; 0,333; …) convergint a 1.
La suma d'una sèrie geomètrica és un resultat fins i tot més antic que el d'Euler. Una demostració típica del fa servir una manipulació terme-a-terme similar a la demostració emprant l'àlgebra donada anteriorment. També el 1811, el llibre de text de John Bonnycastle, Una introducció a l'àlgebra, fa servir una sèrie geomètrica com aquesta per justificar la mateixa maniobra en el cas de 0,999…Grattan-Guinness, pàg. 69Bonnycastle, pàg. 177 Una reacció a tals mètodes d'addició liberals produïda al portà com a conseqüència la definició que encara domina avui: la suma d'una sèrie es defineix com el límit de la successió de les seves sumes parcials. Una demostració corresponent del teorema calcula explícitament aquesta successió; es pot trobar en qualsevol introducció al càlcul o l'anàlisi basada en la demostració.Protter i Morrey, pàg. 213Pugh, pàg. 180J.B. Conway, pàg. 31
Una successió (x0, x1, x₂, …) té un límit x si la distància |x − xn| esdevé arbitràriament petita a mesura que n augmenta. La mateixa afirmació 0,999… = 1 es pot interpretar i demostrar com un límit:.El límit que es mostra està tret de Rudin, Teorema 3.20e, pàg. 57. Per a una aproximació més directa, vegeu també Finney, Weir, Giordano (2001), Càlcul: Primers Transcendentals 10a ed., Addison-Wesley, Nova York. Secció 8.1, exemple 2 (a), exemple 6(b).
L'últim pas
sovint es justifica per l'axioma que els nombres reals tenen la propietat arquimediana. Aquesta actitud basada en el límit cap a 0,999… sovint s'explica en més termes evocatius, però menys precisos. Per exemple, a Aritmètica d'Universitat, un llibre de text de 1846, s'explica: «0,999 +, continuat a l'infinit = 1, perquè totes les annexions d'un 9 porten el valor més proper a 1.» Mig segle més tard (1895), a Aritmètica per a Escoles, es diu: «... quan es pren un nombre gran de 9 segons, la diferència entre 1 i 0,99999… esdevé inconcebiblement petita"»Davies, pàg. 175Ferrer i Harrington, pàg. 115 Aquestes heurístiques són sovint interpretades pels estudiants en el sentit que impliquen que 0,999… mateix és menor que 1.
Intervals niats i ínfims miniatura|Intervals niats: en base 3, 1 = 1,000… = 0,222…