miniatura|Carl Friedrich Gauß fa servir els polinomis minimals anomenats ciclotòmics per determinar els polígons constructibles amb el regle i el compàs. En matemàtiques, el polinomi minimal d'un nombre algebraic és una noció derivada de l'àlgebra lineal, serveix per fonamentar dues teories.
La teoria clàssica de Galois té com a camps d'estudi certs cossos commutatius, construïts per les extensions finites de cossos inicials com un cos finit o el dels nombres racionals. El polinomi minimal proveeix un mètode natural per construir tals extensions. Aquestes arrels es fan servir per elucidar les propietats d'una noció fonamental, el grup de Galois. Un teorema clau, com el de l'element primitiu s'expressa en termes de polinomi minimal.
La teoria de nombres algebraics estudia els enters algebraics. Es defineixen amb l'ajuda d'un polinomi minimal. El seu anàlisi permet explicitar les propietats d'eines de l'aritmètica com el discriminant d'un anell, o la norma (matemàtiques) d'un nombre algebraic. Les propietats d'un polinomi minimal d'un enter algebraic es fan servir per a la demostració de nombrosos resultats, com l'estructura del grup de les classes dels ideals o el teorema de les unitats de Dirichlet. Un exemple relativament simple d'utilització és el dels cossos quadràtics, marc d'estudi dels nombres algebraics inclosos en una extensió quadràtica.
En àlgebra lineal hi ha una noció connexa, anomenada polinomi mínim d'un endomorfisme.
Definició Aquí K designa un cos i L una extensió de K, és a dir un cos que conté K. Les lletres C, R i Q designen respectivament els cossos dels complexos, reals i racionals.
Sigui l un element de L, el polinomi minimal del nombre l és, si existeix, el polinomi mònic de grau més baix amb coeficients a K que admet l per arrel.
Un element l de L s'anomena algebraic sobre K si i només si té un polinomi minimal.
El nombre π + i del conjunt C és algebraic si C es considera com una extensió de R. En efecte, el seu polinomi minimal existeix i és igual a: X² -2π X + π² + 1. Ferdinand von Lindemann (1852 1852 1939 1839) va demostrar<ref>F. Lindemann Über DIè Zahl Mathematische Annalen 20 1882 pàg. 213-225</ref> que no és un nombre algebraic sobre el cos dels racionals. En conseqüència, π + i no admet de polinomi minimal en Q. En canvi, i la unitat imaginària i √2 tenen polinomis minimals en Q, que són respectivament iguals a X² + 1 i X² - 2.
Context Motivació
miniatura|Évariste Galois va desenvolupar una teoria que posa en evidència les conseqüències de les propietats dels polinomis minimals.
El 1801, Carl Friedrich Gauß estudia el polinomi minimal amb coeficients racionals de l'arrel n-èsima de la unitat en el cos dels complexosCarl Friedrich Gauß Recerques aritmètiques trad. francesa de les Disquisitiones arithmeticae per A.-C.-M. Poullet-Delisle secció Vième Art 336-366 i li dona el nom de polinomi ciclotòmic. Aquest enfocament és fructuós, l'estudi del seu grau així com de les operacions que es poden realitzar sobre les arrels posen en evidència propietats d'aquestes arrels. Conclou per exemple que l'heptadecàgon, és a dir el polígon régulier a 17 costats és constructible amb el regle i el compàs.
Aquest enfocament va ser generalitzatEvariste Galois, Manuscrit de Galois en Diari de les matemàtiques pures i aplicades 1846 per Évariste Galois . Estudia sistemàticament les extensions K que contenen totes les arrels d'un polinomi irreductible P[X] amb coeficients racionals. Tal polinomi és el polinomi minimal de cadascuna de les arrels. Estudia així el problema de l'extracció d'arrels per radicals (és a dir una arrel n-èsima d'un racional) d'un polinomi irreductible.
En termes contemporanis, aquest camí permet disposar de resultats que subministren quatre estructures algebraiques diferents. El cos K es pot veure com un espai vectorial, si k és un element del cos, l'aplicació de K en K, que a x li associa k.x és un endomorfisme de K, vist com un Q espai vectorial, el seu polinomi mínim en el sentit dels endomorfismes correspon al polinomi mínim de l'enter algebraic k, l'àlgebra lineal està disponible amb aquest enfocament. És relativament fàcil comprovar tot automorfisme de K que permuta les arrels de P[X ], formen per tant un grup finit isomorf a un subgrup de les permutacions de les arrels. Tal grup porta el nom de grup de Galois i la teoria de grups ofereixen els teoremes per comprendre millor tal estructura. Finalment, l'anell dels polinomis amb coeficients en Q disposa de propietats fortes, és per exemple euclidià. Aquesta riquesa permet a Galois oferir una nova formulació del teorema d'Abel, donant una condició necessària i suficient perquè un polinomi sigui resoluble per radicals.
El polinomi minimal és l'origen de la definició de K, disposa de nombroses propietats que provenen de l'àlgebra lineal, de les propietats del cos K o també del grup de Galois.
miniatura|esquerra|Leonhard Euler és un precursor. Comprèn l'interès de nombres que tenen un polinomi minimal amb coeficients enters. Una habilitat insuficient en el maneig de les estructures que ara s'anomenen anella porta no obstant això a introduir un error en la seva demostració. Teoria algebraica dels nombres L'interès pel polinomi mínim posseeix també un altre origen. La resolució d'algunes equacions diofàntiques com la del teorema de la suma dels dos quadrats se simplifica si es fa servir un nou anell. Gauss descobreix d'aquesta maneracarl Friedrich Gauß Recerques aritmètiques trad. francesa dels Disquisitiones arithmeticae per A.-C.-M. Poullet-Delisle 1801 article 182 els enters que porten el seu nom. Corresponen als complexos de la forma α + i.β, on α i β són naturals. Si p és un nombre primer congruent amb 1 mòdul 4, llavors existeix un morfisme de l'anell dels enters de Gauss, cap a Z/pZ. El nucli d'aquest morfisme és un ideal principal de generador un nombre α + i.β tal que α² + β² és igual ap, el que permet resoldre l'equació.
Un pas d'aquesta naturalesa té un antecedent cèlebre, Leonhard Euler fa servir els nombres de la forma α + i√3.β.β per provar de demostrar l'últim teorema de Fermat per a n = 3. AnunciaH. M. Edwards Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory Springer 3ème Ed 2000 </ref> a Goldbach en 1753 que ha trobat finalment una solució. Es revela incorrecta,<ref>Leonhard Euler Àlgebra 1770 perquè suposa implícitament que l'anell considerat és euclidià. Tanmateix no és el cas, com ho demostra la igualtat següent:
Els tres nombres emprats no tenen divisors diferent d'1 o d'ells mateixos. Ferdinand Eisenstein acaba per trobar l'anell adequat d'enters equivalent, està format pels nombres de la forma α + j.β on j designa una arrel cúbica de la unitat.
La definició adequada d'un enter algebraic d'una extensió finita de Q és la dels nombres tals que els coeficients del seu polinomi minimal són naturals. Aquest conjunt forma un anell. Si bé en el cas general, no és euclidià, no obstant això té prou propietats per permetre construir una teoria. L'anell s'anomena de Dedekind. Si bé l'anell no és en general ni euclidià ni factorial, el pas a la noció d'ideal fraccionari mostra que tot ideal és el producte, d'una manera única d'ideals primers. Aquesta propietat és el fonament de la teoria algebraica clàssica dels nombres, reemplaça la descomposició en factors primers que no es compleix en el cas general.
El polinomi minimal és així l'eina de definició d'un enter algebraic. Les seves propietats, derivades de l'aritmètica, l'àlgebra lineal i la teoria de Galois, es fan servir per establir els teoremes clau de la teoria com el de Dirichlet o el del grup de les classes d'ideals.
Teoria de Galois Propietats elementals
Aquí K és un cos, L una extensió de K i m un element de L.
L'estructura euclidiana de K[X] permet d'establir una primera propietat: Sigui P[X] un polinomi irreductible i unitari de K[X], llavors existeix una extensió E de K de dimensió el grau n de P[X] que conté un element e tal que P[X] és el polinomi minimal de E. En efecte, l'ideal engendrat per P[X] és maximal, ja que P[X] no admet altres divisors que 1 i ell mateix (tret d'un factor multiplicatiu). El quocient de K[X] per aquest ideal és un cos. Si e designa la classe de X en aquest cos, e és arrel de P[X]. La dimensió d'aquesta extensió és igual al grau de P[X], ja que 1, e..., en-1 és una base del quocient. El conjunt dels polinomis amb coeficients a K que admeten e per arrel és un ideal de K[X], conté P[X]. Com que K[X] és principal, ja que és euclidià, l'ideal és engendrat per un polinomi, de grau mínim, no constant i qui divideix P[X]. Aquest polinomi és necessàriament P[X], ja que és irreductible.
L'àlgebra lineal permet establir algunes propietats sobre els polinomis minimals. Se suposa que m sigui algebraic sobre K, és a dir que posseeix un polinomi minimal amb coeficients en K.
La dimensió n de l'extensió més petita que conté m és igual al grau del polinomi mínim M[X]. N'hi ha prou amb fixar-se que 1, m..., mn-1 és una base de l'extensió més petita.
Si m és element d'una extensió finita E sobre K (és a dir de dimensió finita), llavors admet un polinomi minimal amb coeficients en K. L'aplicació f de E en E que a x li associa m.x és un endomorfisme. Tot endomorfisme sobre un espai vectorial de dimensió finita posseeix un polinomi minimal i en particular f. El polinomi minimal de l'endomorfisme f és per construcció el polinomi minimal del nombre algebraic m.
Si m1 i m₂ són dos enters algebraics, llavors m1.m₂ i m1 + m₂ admeten polinomis minimals amb coeficients en K. Si m1 és inversible, llavors m1-1 també ho és.
Sigui E una extensió finita de K i si m admet un polinomi minimal amb coeficients en E, admet també un polinomi minimal amb coeficients en K. Les dues últimes propietats es demostraran a l'article principal.
Extensió separable
Un polinomi s'anomena separable si admet tantes arrels diferents com el seu grau. Si bé existeix sempre una extensió que conté totes les arrels d'un polinomi minimal, no és necessàriament separable. Pot en efecte tenir arrels múltiples. Tal no és el cas si el cos és perfecte, per exemple si K és finit o de característica nul·la. Les extensions separables posseeixen propietats suplementàries importants. En el cas general la proposició següent és verdadera: Sigui E una extensió finita de K i e un element de E, el grau del polinomi minimal n de e amb coeficients en K divideix la dimensió de E. Aquesta propietat es demostrarà a l'article extensió algebraica. Permet per exemple demostrar que la trisecció de l'angle o la duplicació del cub és en general impossible amb el regle i el compàs (vegeu l'article Torre d'extensió quadràtica).
Una propietat més forta és verdadera si l'extensió és separable: Sigui E una extensió separable i finita, llavors existeix un element e el polinomi minimal del qual sobre K és de grau la dimensió de E.L'element engendra l'extensió. Aquest resultat és conegut sota el nom d'element primitiu.
Grup de Galois
El grup de Galois G està format pel conjunt dels automorfismes de L que deixen invariants K. Si σ és un element del grup de Galois de L i P[X] el polinomi mínim de m, llavors σ(m) és també una arrel de P[X]. En efecte, les propietats de morfisme dels membres del grup de Galois demostren que:
Les propietats són més fortes si L és una extensió de Galois. Una extensió de Galois, si L és de dimensió finita és una extensió separable i tal que el grup de Galois de la qual conté tants elements com la dimensió de L. En el cas general una extensió de Galois és una extensió separable tal com tot automorfisme d'una extensió de L que deixa invariant K també deixa globalment invariant L (és a dir que la imatge de L per l'automorfisme és igual a L).