En matemàtiques, i més específicament en topologia i àrees relacionades, un homeomorfisme local és un tipus especial d'aplicació entre espais topològics, que en preserva l'estructura local. Més precisament, és una aplicació que restringida a oberts prou petits és un homeomorfisme.
Els homeomorfismes locals són molt importants en geometria diferencial i en topologia algebraica, perquè són un concepte més general que inclou tant els difeomorfismes locals com els revestiments, i per la seva relació amb la teoria de feixos.
Definició Siguin X i Y espais topològics. Una aplicació f: X → Y és un homeomorfisme local quan, per a cada punt x ∈ X, existeix un conjunt obert U contenint x tal que f(U) és un conjunt obert de Y i l'aplicació restringida f|U: U → f(U) és un homeomorfisme.
Exemples Si X i Y són varietats diferenciables i f: X → Y és un difeomorfisme local, llavors és un homeomorfisme local.
Un homeomorfisme és un homeomorfisme local, però el recíproc no és cert, ja que un homeomorfisme local no té per què ser injectiu ni suprajectiu.
L'aplicació exponencial f: C → C, definida per f(z) = exp(z), és un homeomorfisme local (de fet, és un difeomorfisme local) que no és un homeomorfisme global, ja que no és injectiva (perquè f(z)=f(z+2kπi) per a k enter) ni suprajectiva (el punt zero no és un valor de la funció).
Si escrivim C* = C-{0}, l'aplicació f: C* → C*, definida per f(z) = zn, on n és un enter estrictament positiu, és un homeomorfisme local; només quan n=1 és un homeomorfisme, ja que altrament no és injectiva.
L'aplicació f: R → S1 definida per f(t) = exp(2πit) (considerant S1 ⊆ C) és un homeomorfisme local no injectiu.
Si X és un espai topològic i A n'és un subconjunt, la inclusió A → X és un homeomorfisme local sii A és obert.
Més generalment, si f: X → Y és un homeomorfisme local i A ⊆ X és obert, llavors la restricció f|A: A → Y també és un homeomorfisme local.
Un revestiment és un homeomorfisme local suprajectiu, però el recíproc no és cert.
Propietats La composició d'homeomorfismes locals és un homeomorfisme local.
Un homeomorfisme local és una aplicació contínua i oberta.
Si f: X → Y és un homeomorfisme local injectiu, llavors la bijecció induïda X → f(X) és un homeomorfisme. En particular, un homeomorfisme local bijectiu és un homeomorfisme.
Vegeu també Homeomorfisme Difeomorfisme local Revestiment
Referències N. Bourbaki, Élements de mathématique. Topologie générale, Hermann, Paris, 1971. William S. Massey, Algebraic topology: an introduction, 1967.
Categoria:Topologia