miniatura|Representació de la cèlebre paradoxa d'Aquil·les i la tortuga juntament a l'efígie de Zenó.Les paradoxes de Zenó són una sèrie de paradoxes o apories, ideades per Zenó d'Elea (filòsof de l'escola d'Elea), per donar suport a la doctrina de Parmènides que les sensacions que obtenim del món són il·lusòries, i concretament, que no existeix el moviment. Racionalment, una persona no pot recórrer un estadi de longitud, perquè primer ha d'arribar a la meitat d'aquest, abans a la meitat de la meitat, però abans encara hauria de recórrer la meitat de la meitat de la meitat i així eternament fins a l'infinit. D'aquesta manera, teòricament, una persona no pot recórrer un estadi de longitud, encara que els sentits mostrin que sí que és possible.
Pertanyen a la categoria de paradoxes anomenades sofismes, açò és, que no sols aconsegueixen un resultat que sembla fals, sinó que a més ho és. Això és degut a una fal·làcia en el raonament, produït per la falta de coneixements sobre el concepte d'infinit en l'època en què van ser formulades.
Context històric miniatura|Zenó mostra als estudiants les portes de la veritat i de la mentida. Fresc a la Biblioteca de l'Escorial. Autor: Bartolomé Carducho // Pellegrino Tibaldi Dedicat principalment al problema del continu i a les relacions entre espai, temps i moviment, Zenó hauria plantejat — assenyala Procle — un total de 40 paradoxes. Generalment, s'assumeix, basant-se en el diàleg de Plató Parmènides (128 a-d), que Zenó va emprendre la tasca de crear aquestes apories perquè altres filòsofs havien creat paradoxes contra la visió de Parmènides. Per això Plató escriu que el propòsit de les paradoxes de Zenó "és mostrar que la hipòtesi de la pluralitat, si es realitza un raonament adequat, condueix a resultats encara més absurds que la hipòtesi que l'ésser és un".Parménides 128d Plató també recull una afirmació de Sòcrates que Zenó i Parmènides estaven argumentant essencialment el mateix punt de vista.Parmenides 128a–b
Algunes de les nou paradoxes supervivents de Zenó (conservades en la Física d'AristòtilAristotle's Physics "Physics" by Aristotle translated by R. P. Hardie and R. K. Gaye i en el comentari de Simplici de Cilicia sobre aquest tema) són essencialment equivalents entre si. Aristòtil va oferir una refutació d'algunes d'elles.
Tres de les paradoxes més famoses i més difícils de rebatre, la d'Aquil·les i la tortuga, l'argument de la dicotomia i el d'una fletxa en vol, es presenten detalladament a continuació.
Els arguments de Zenó són potser els primers exemples d'un mètode de prova anomenat "reductio ad absurdum", també conegut com a prova per contradicció. Se solen mostrar com una font del mètode dialèctic utilitzat per Sòcrates.([fragmento 65], Diógenes Laertio. IX 25ff and VIII 57).
Alguns matemàtics i historiadors, com Carl Benjamin Boyer, sostenen que les paradoxes de Zenó són simplement problemes matemàtics, per als quals el càlcul infinitesimal modern ofereix una solució matemàtica. No obstant això, alguns filòsofs afirmen que les paradoxes de Zenó i les seves variacions (vegeu làmpada de Thomson) continuen sent problemes rellevants de metafísica.
Els orígens de les paradoxes són poc clars. Diògenes Laerci, una quarta font d'informació sobre Zenó i els seus ensenyaments, citant a Favorí d'Arle, diu que Parmènides, el mestre de Zenó, va ser el primer a presentar la paradoxa d'Aquil·les i la tortuga. Però en un passatge posterior, Laerci atribueix l'origen de la paradoxa a Zenó, explicant que Favorí no està d'acord.Diógenes Laercio, Vidas, 9.23 y 9.29.
Estructura i propòsit de les paradoxes L'estructura de les paradoxes segueix el principi de la demostració indirecta. Estan plantejades de manera tal que al començament s'enuncia com a supòsit la mateixa posició que es vol refutar. A partir dels supòsits es construeix una regressió infinita. Així, per exemple, en la paradoxa de la dicotomia es divideix el tram que encara està per recórrer per a argumentar que la segona part també ha de recórrer-se i a aquesta part també aplica al seu torn el mateix. Això es pot repetir en el pensament infinitament, encara difícils d'entendre.
L'argumentació de Zenó gira entorn de la pregunta de si el món pot ser dividit en unitats discretes, és a dir, si potser existeix la divisibilitat o el món constitueix realment una unitat contínua. El supòsit de la divisibilitat condueix al problema que o bé tot és infinitament divisible o han d'existir quants elementals últims d'espai i de temps. La major part de les paradoxes parteix d'un d'aquests dos supòsits i conclou des d'allí la impossibilitat de certes coses i processos que, en la vida quotidiana, s'experimenten com absolutament possibles. Així, per exemple, se sap per experiència que cada corredor aconseguirà la seva meta. Zenó discuteix d'aquesta manera tant el concepte d'espai com el de moviment.
Alguns relats suposen que Zenó s'orientava amb les seves paradoxes a defensar la doctrina del seu mestre Parmènides que existiria solament l'única cosa infinita i tot moviment seria una il·lusió. Segons això, per exemple, una persona no podria recórrer un estadi de longitud, perquè primer ha d'arribar a la meitat d'aquest, abans a la meitat de la meitat, però abans encara hauria de recórrer la meitat de la meitat de la meitat i així eternament fins a l'infinit. D'aquesta manera, en l'exercici mental, una persona no podria recórrer mai un estadi de longitud, encara que la realitat mostri que sí que és possible.
Plató (en el diàleg de Parmènides) presenta a Zenó informant que va intentar protegir a Parmènides contra les crítiques pel seu rebuig de la pluralitat i del moviment (el que portaria a conseqüències forassenyades), amb la demostració que l'adhesió al moviment i a la pluralitat portaria a conclusions encara més insensates.
En tot cas, Zenó assenyala allí d'aquest text de Plató que es tractaria d'una obra de joventut, i que la gent li ho hauria sostret sense que ell hagués donat el seu consentiment exprés per a la seva publicació. No obstant això, el que almenys es pot afirmar amb seguretat és que la filosofia de Zenó s'orientava en contra de l'adopció de determinades posicions filosòfiques fonamentals per a l'explicació del món. Contra aquestes posicions argumenta també Parmènides. Tanmateix, en algunes de les paradoxes hi ha contradiccions amb el concepte de món de forma esfèrica de Parmènides. En rigor, dels arguments de Zenó només es pot deduir que el supòsit d'espai i moviment, sota les premisses que s'estableixen en cadascuna de les paradoxes, condueix a conseqüències absurdes, és a dir, les premisses no poden ser veritables si no es vol dubtar de l'experiència quotidiana.
Amb les seves paradoxes, Zenó qüestiona determinades concepcions intuïtives preexistents sobre l'infinitament petit i l'infinitament gran. Ja abans se solia creure que una suma d'infinits sumands podia créixer indefinidament, encara que els sumands anessin infinitament petits, i que la suma d'un número finit o infinit de termes tots iguals a zero tornava a donar zero com a resultat. La crítica de Zenó objecta l'admissibilitat de tals conceptes.Dirk J. Struik, Abriß der Geschichte der Mathematik, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1976, p. 53-54
Les apories o sofismes de Zenó pertanyen a la categoria de paradoxes falsídiques, també dites sofismes, això és, que no sols aconsegueixen un resultat que aparenta ser fals, sinó que a més ho són (fal·làcia en el raonament).
És probable que el mateix Zenó no hagi tingut clara consciència de les conseqüències que les seves consideracions tenien per a les matemàtiques. En la discussió filosòfica i teològica ja havien sorgit problemes del tipus tractat per ell en les seves paradoxes: els problemes de la relació entre l'infinit potencial i l'infinit actual o aconseguit.Dirk J. Struik, Abriß der Geschichte der Mathematik, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1976, p. 53-54 No obstant això, les paradoxes van influir en el pensament matemàtic de moltes generacions, més encara després del descobriment dels nombres irracionals, arribant a qüestionar-se la possibilitat de les matemàtiques com una ciència exacta. S'ha arribat a plantejar que aquest escàndol marca una autèntica crisi de les matemàtiques gregues en les acaballes de les Guerres del Peloponès que culminessin amb la caiguda d'Atenes en 404 aC, que va significar la fi de la democràcia esclavista i l'inici del règim aristocràtic.
Contra les paradoxes, s'han aportat els més diversos arguments, per la qual cosa se'ls considera refutades. No obstant això, per a mesuraments en el món de la física quàntica les paradoxes es van confirmar en 1994 en la Universitat de Múnic: Es va comprovar que es va detenir el moviment d'un sistema quàntic exclusivament per mitjà d'una seqüència densa de mesuraments, la qual cosa va conduir a la formulació del model teòric de l'efecte quàntic de Zenó.Véase por ejemplo, Höffe, Otfried.Kleine Geschichte der Philosophie. [«Breve historia de la filosofía» 2ª edición. Beck, Múnich 2008, p. 29: "Aristoteles löst die Paradoxien, indem er zwei Bedeutungen von "unendlich" - eine unendliche Ausdehnung und unendliche Teilbarkeit - unterscheidet, so daß eine der Ausdehnung nach endliche, der Teilbarkeit nach unendliche (Raum- oder Zeit-)Strecke in endlicher Zeit durchlaufen werden kann." [«Aristóteles resuelve las paradojas al distinguir dos significados de 'infinito' — extensión infinita y divisibilidad infinita — de modo tal que un segmento (espacial o temporal) que de acuerdo a su extensión es finito y de acuerdo a su divisibilidad es infinito, pueda ser recorrido en un tiempo finito»
Aquil·les i la tortuga esquerra|miniatura|170x170px|Aquil·les i la tortuga Aquil·les, anomenat "el dels peus lleugers" i el més hàbil guerrer dels aqueus, que va matar Hèctor, decideix sortir a competir en una cursa contra una tortuga, ja que corre molt més ràpid que aquesta. Segur de les seues possibilitats, li dona un gran avantatge inicial. En donar l'eixida, Aquil·les recorre en poc de temps la distància que els separava inicialment, però en arribar allí descobreix que la tortuga ja no hi és, sinó que ha avançat, més lentament, un xicotet tram. Sense desanimar-se, continua corrent, però en arribar de nou on estava la tortuga, aquesta ha avançat un poc més. D'aquesta manera, Aquil·les no guanyarà la carrera, ja que la tortuga estarà sempre per davant d'ell. miniatura|Distància davant de temps, assumint que Aquil·les corre el doble de ràpid que la tortuga
Rèplica a la paradoxa Actualment, es coneix que Aquil·les realment aconseguirà atrapar la tortuga, ja que, com va demostrar el matemàtic escocès James Gregory (1638-1675), una suma d'infinits termes pot tenir un resultat finit. Els temps en què Aquil·les recorre la distància que el separa del punt anterior on es trobava la tortuga són cada vegada més i més xicotets, i la seua suma dona un resultat finit, que és el moment en què avançarà la tortuga.
Una altra manera de plantejar-ho és que Aquil·les pot fixar un punt d'arribada que està uns metres més endavant de la tortuga, en comptes del punt en què aquesta es troba. Ara, en comptes de quantitats infinites, tenim dues quantitats finites amb les quals es pot calcular un espai finit de temps en el qual Aquil·les passarà a la tortuga.Zeno's Paradox: Achilles and the Tortoise by Jon McLoone, Wolfram Demonstrations Project.
La dicotomia miniatura Aquesta paradoxa, coneguda com a argument o paradoxa de la dicotomia, és una variant de l'anterior.