miniatura|A cada punt, la derivada és el pendent de la recta que és tangent a la corba. La recta de color vermell és sempre tangent a la corba blava; el seu pendent és la derivada.
En càlcul infinitesimal, la derivada és una mesura de com canvia una funció en modificar el valor de les seves variables. Intuïtivament pot dir-se que la derivada és la rapidesa amb què varia una quantitat determinada en un punt donat. Per exemple, la derivada de la posició d'un cotxe en un moment concret, és la velocitat instantània a la qual va el cotxe en aquell moment; i, de manera recíproca, la integral de la velocitat del cotxe és la seva posició.
La derivada de la funció en un punt donat descriu la millor aproximació lineal de la funció en el punt. Per una funció real d'una variable real, la derivada en un punt és igual al pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció en aquest punt. En diverses dimensions, la derivada d'una funció en un punt és una aplicació lineal anomenada la linealització de la funció en el punt.El càlcul diferencial, del qual es parla en aquest article, és una disciplina matemàtica molt consolidada i per la qual hi ha moltes fonts documentals. Gairebé tot el material d'aquest article es pot trobar a Apostol (1967), Apostol (1969), i Spivak (1994).
Del procés de trobar una derivada se'n diu derivació. El teorema fonamental del càlcul estableix que la derivació és el procés invers al de la integració.
Història Resultats previs al desenvolupament del càlcul infinitesimal El matemàtic grec Arquimedes va ser el primer de qui es té constància que hagués trobat la tangent a una corba diferent de la circumferència; per fer-ho va emprar un mètode semblant al que es fa servir en càlcul de derivades. Per estudiar l'espiral va separar el moviment d'un punt en dos components, una velocitat constant en el sentit radial i una velocitat perpendicular al radi provocada per una velocitat angular constant; a continuació, va sumar (o compondre vectorialment) els dos components del moviment per trobar la tangent a la corba. De vegades s'ha descrit els matemàtics grecs com a essencialment estàtics, amb poc interès per la noció de variabilitat; però Arquimedes, en el seu estudi sobre l'espiral, sembla que va trobar la tangent a una corba a través de consideracions cinemàtiques similars a les del càlcul diferencial. A base de pensar en un punt de l'espiral com a subjecte a un doble moviment –un moviment radial uniforme allunyant-se del centre i un moviment circular entorn del centre–, sembla que, a través del paral·lelogram de velocitats, va trobar la direcció del moviment; és a dir, va trobar la tangent a la corba a base d'obtenir la resultant dels dos components del moviment. Es creu que aquest va ser el primer cas on es va trobar la tangent a una corba diferent de la circumferència.
El 499, el matemàtic Indi Aryabhata va fer servir una noció d'infinitesimals i va ser capaç d'expressar un problema astronòmic en forma d'una equació diferencial elemental.George G. Joseph (2000). The Crest of the Peacock, pàg. 298-300. Princeton University Press. Manjula, al , va elaborar aquesta equació diferencial i la deixa descrita en un comentari. Ja al , aquesta equació va portar Bhaskara II a desenvolupar el concepte d'una derivada que representa un canvi infinitesimal, i va descriure una forma primitiva del teorema de Rolle.Ian G. Pearce. Bhaskaracharya II.
A finals del , el matemàtic Sharaf al-Dīn al-Tūsī va ser el primer a descobrir la derivada d'una funció polinòmica de tercer grau.J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society 110 (2), pàg. 304-309. En el seu Tractat sobre les equacions va desenvolupar conceptes relacionats amb el càlcul diferencial, com ara la funció derivada i els màxims i mínims de corbes, i ho va fer amb la finalitat de resoldre equacions de tercer grau que no tenen solucions positives. Per exemple, amb l'objectiu de resoldre l'equació , al-Tusi va calcular el punt màxim de la corba . Va fer servir la derivada de la funció per trobar que aquest punt màxim està a , i llavors va obtenir el valor màxim de y a a base de substituir en . Va resoldre que l'equació té una solució si , i així al-Tusi va deduir que l'equació té una arrel positiva si , on és el discriminant de l'equació.
Newton Newton no va completar cap publicació definitiva que formalitzés el seu Fluxional Calculus; més aviat, moltes de les seves descobertes es transmeteren a través de correspondència mantinguda amb altres matemàtics, d'articles petits, o com detalls incorporats en altres compilacions definitives com ara Principia i Optica.
El 1664, Newton va fer la seva primera contribució important descrivint el teorema del binomi, el qual va estendre de manera que també inclogués exponents fraccionaris i negatius. L'èxit de Newton en expandir l'aplicació del teorema del binomi fou deguda al fet que va aplicar l'àlgebra de quantitats finites en una anàlisi de sèries infinites. En aquest treball va mostrar la voluntat de contemplar les sèries infinites, no només com a dispositius aproximats sinó com una forma alternativa d'expressar un terme.Calinger 610: Calinger, Ronald. A Contextual History of Mathematics. Toronto: Prentice-Hall Inc., 1999.
Moltes de les idees clau de Newton sorgiren durant els anys de la pesta de 1665-1666 quan va escriure el primer plantejament del càlcul de fluxions, descrit en l'article no publicat De analysi per aequationes numero terminorum infinitas. En aquest article, Newton va determinar l'àrea tancada per una corba a base de calcular primer el ritme instantani de canvi (la derivada) i extrapolant-ne l'àrea total. Va començar amb una raonament sobre un triangle infinitament petit, l'àrea del qual és una funció de x e y, que el va portar a deduir que l'augment infinitesimal de l'abscissa crea una nova fórmula on ; és important observar que o és la lletra, no el dígit 0. A continuació va recalcular l'àrea amb l'ajut del teorema del binomi, i simplificà totes les quantitats que contenen la lletra o, obtenint una nova expressió algebraica per l'àrea. És significatiu observar que Newton va "descartar" les quantitats que contenen o perquè termes multiplicats per ell no seran res respecte de la resta.
Mentre que la seva nova formulació oferia un gran potencial, Newton era conscient de les seves limitacions lògiques. Va admetre que els errors no es poden descartar en matemàtiques, no importa com siguin de petits i que el que ell havia assolit estava explicat de forma resumida més que no pas demostrat de forma acurada.
En un esforç per donar al càlcul un marc i una explicació més rigorosa, el 1671 Newton va compondre el Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum. En aquest llibret va voler especular sobre moviments instantanis i infinitesimals, i va utilitzar les matemàtiques com una eina metodològica per explicar el món físic. La base del càlcul infinitesimal revisat de Newton esdevé la continuïtat; i, com a tal, ell va redefinir els seus càlculs en termes de moviments que flueixen de forma contínua. Per Newton les magnituds variables no són agregats d'elements infinitesimals sinó que són generades pel fet indiscutible del moviment.
Newton va intentar evitar l'ús d'infinitesimals a base de conformar el càlculs basant-se en un ritme de canvi. En el Methodus Fluxionum va definir el ritme de canvi generat com una fluxió, i la quantitat generada com un fluent. Per exemple, si l'espai o el volum són fluents, llavors la velocitat o el cabal són les seves respectives fluxions. Aquest càlcul infinitesimal revisat va assolir la seva forma definitiva en el text de 1676, De Quadratura Curvarum, on Newton ve a definir el que avui en dia entenem per derivada, com el ritme de canvi últim. miniatura|<center>Sir Isaac Newton el 1689, obra de Godfrey Kneller. miniatura|<center>Gottfried Leibniz, cap al 1700, obra de Ch. B. Francke. Newton va fer molt èmfasi en aquesta qüestió a Principia:
Leibniz Mentre Newton va començar el desenvolupament del seu càlcul de fluxions el 1665-1666, les seves troballes no circularen a bastament fins més tard. En els anys intermedis Leibniz també va crear el seu càlcul infinitesimal. Per tal d'entendre el raonament de Leibniz en càlcul infinitesimal s'han de tenir presents els seus antecedents. En particular dos d'ells: La seva metafísica que considera el món com un agregat infinit de mònades indivisibles. La seva intenció, inspirada per les idees de l'ars magna de Ramon Llull,Leibniz l'anomenà "ars combinatòria" i per això avui en dia també se la coneix amb aquest nom de crear una lògica formal precisa amb la que obtenir: "un mètode general amb el qual totes les veritats de la raó s'haurien de reduir a una mena de càlcul."
Leibniz, igual que Newton, va veure la tangent com un quocient, però el va declarar simplement com el quocient entre ordenades i abscisses. Va continuar a base d'argumentar que la integral és, de fet, la suma de les ordenades per intervals infinitesimals de l'abscissa, és a dir, la suma d'un nombre infinit de rectangles. A partir d'aquestes definicions la relació d'inverses mútues va esdevenir clara i Leibniz es va adonar ràpidament del potencial de crear un nou sistema matemàtic complet. Allà on Newton havia evitat de fer servir infinitesimals, Leibniz en va fer la pedra angular de la seva notació i del càlcul infinitesimal.
En els manuscrits del 25 d'octubre a l'11 de novembre de 1675, Leibniz va enregistrar els seus descobriments i va experimentar amb diferents formes de notació. Era plenament conscient dels termes notacionals emprats i els seus plans inicials de crear un simbolisme lògic precís van esdevenir evidents. Leibniz va denotar les diferències infinitesimals entre abscisses i ordenades com dx i dy respectivament, i la suma d'una quantitat infinita d'àrees rectangulars infinitesimalment primes com (∫), que esdevé el símbol emprat actualment per la integral . El 1684, Leibniz va publicar a lActa Eruditorum el que es considera el primer tractat sobre càlcul diferencial: Un nou mètode per màxims, mínims i tangents que també serveix per valors fraccionaris i irracionals i que, per tant, constitueix un tipus de càlcul sense precedents.M. Rosa Estela. Fonaments de càlcul, 2003, Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya S.L., pàg. 171
Derivació i la derivada frame|esquerra|El pendent de la corba f(x) en el punt és igual al pendent de la recta tangent a la corba en el punt i és també igual a la derivada de la corba en aquest punt. La derivació és un mètode per calcular el ritme al que varia una quantitat, y, (per exemple la posició d'un cotxe en una carretera recta) respecte al canvi d'una altra quantitat x (per exemple el temps), quan la quantitat y amb relació a la quantitat x és una variable dependent. D'aquest tipus de canvi se'n diu la derivada de y respecte de x. Parlant amb més precisió, la dependència de y respecte de x significa que y és una funció de x (en l'exemple que la posició del cotxe és una funció del temps). Si x i y són nombres reals, i si la gràfica de y es dibuixa respecte de x, la derivada mesura el pendent d'aquesta gràfica en cada punt. Aquesta relació sovint s'indica amb la fórmula y = f(x), on f indica funció.
El cas més senzill es dona quan y és una funció lineal de x (per exemple quan el cotxe recorre distàncies directament proporcionals al temps transcorregut); això vol dir que la gràfica de y respecte de x és una línia recta (en l'exemple a doble temps doble recorregut, a triple temps triple recorregut... i tots els punts de la gràfica queden damunt d'una recta). En aquest cas, y = f(x) = m x + c (l'equació d'una recta en coordenades cartesianes), on m i c, són nombres reals (en l'exemple del cotxe m és la velocitat, que en aquest cas senzill és constant, i c és la posició on es troba el cotxe quan x val zero, és a dir, la posició inicial). El pendent m ve donat per: