En matemàtiques, la desigualtat de les mitjanes aritmètica i geomètrica, o més breument la desigualtat MA-MG, estableix que la mitjana aritmètica d'una llista de nombres reals no-negatius és més gran o igual que la mitjana geomètrica de la mateixa llista; i a més, que les dues mitjanes són iguals si i només si tots els nombres de la llista són iguals (en aquest cas tots dos són aquest nombre).
El cas no trivial més simple és per a dos nombres no-negatius i , és a dir,
amb igualtat si i només si . Això es dedueix del fet que el quadrat d'un nombre real sempre és no-negatiu (més gran o igual que zero) i de la identitat
Per tant, , amb igualtat quan , és a dir, . La desigualtat MA-MG es dedueix de prendre l'arrel quadrada positiva d'ambdós costats i després dividir els dos costats per 2.
Per a una interpretació geomètrica, considereu un rectangle amb costats de longitud i ; té un perímetre i una àrea . De manera similar, un quadrat amb tots els costats de longitud té el perímetre i la mateixa àrea que el rectangle. El cas no trivial més simple de la desigualtat MA-MG implica per als perímetres que i que només el quadrat té el perímetre més petit entre tots els rectangles d'igual àrea.
El cas més simple està implícit als Elements d'Euclides, Llibre V, Proposició 25.
Les extensions de la desigualtat MA-MG tracten mitjanes ponderades i mitjanes generalitzades.
Context La mitjana aritmètica, o menys precisament la mitjana, d'una llista de nombres és la suma dels nombres dividida per :
La mitjana geomètrica és similar, excepte que només es defineix per a una llista de nombres reals no-negatius i utilitza la multiplicació i una arrel en lloc de la suma i la divisió:
Si , això és igual a l'exponencial de la mitjana aritmètica dels logaritmes naturals dels nombres:
La desigualtat Si reformulam la desigualtat utilitzant la notació matemàtica, tenim que per a qualsevol llista de nombres reals no-negatius ,
i aquesta igualtat es compleix si i només si .
Interpretació geomètrica En dues dimensions, és el perímetre d'un rectangle amb costats de longitud i . De manera similar, és el perímetre d'un quadrat amb la mateixa àrea, , que aquest rectangle. Així, per a , la desigualtat MA-MG estableix que un rectangle d'una àrea determinada té el perímetre més petit si aquest rectangle també és un quadrat.
La desigualtat completa és una extensió d'aquesta idea a dimensions. Considerem una caixa -dimensional amb longituds d'aresta . Cada vèrtex de la caixa està connectat a arestes de diferents direccions, de manera que la longitud mitjana de les arestes incidents al vèrtex és . D'altra banda, és la longitud d'aresta d'un cub -dimensional de volum igual, que per tant també és la longitud mitjana de les arestes incidents a un vèrtex del cub.
Així, la desigualtat MA-MG estableix que només el n-cub té la longitud mitjana més petita d'arestes connectades a cada vèrtex entre totes les caixes -dimensionals amb el mateix volum.
Exemples Exemple 1 Si , aleshores la desigualtat MA-MG ens diu que
Exemple 2 Es pot trobar un límit superior simple per a . MA-MG ens diu
i així
amb igualtat a .
Equivalentment,
Exemple 3 Considerem la funció
per a tots els nombres reals positius , i . Suposem que volem trobar el valor mínim d'aquesta funció. Es pot reescriure com:
amb
Aplicant la desigualtat MA-MG per a n = 6, obtenim
A més, sabem que els dos costats són exactament iguals quan tots els termes de la mitjana són iguals:
Tots els punts que compleixen aquestes condicions es troben en una semirecta que comença a l'origen i vénen donats per
Aplicacions Desigualtat de Cauchy-Schwarz La desigualtat MA-MG es pot utilitzar per demostrar la desigualtat de Cauchy-Schwarz.
Rendibilitats anualitzades En matemàtiques financeres, la desigualtat MA-MG mostra que el rendiment anualitzat, la mitjana geomètrica, és inferior al rendiment anual mitjà, la mitjana aritmètica.
Polinomis no-negatius El polinomi de Motzkinés un polinomi no-negatiu que no és una suma de polinomis quadrats. Es pot demostrar que és no-negatiu utilitzant la desigualtat MA-MG amb , , i , això és, Simplificant i multiplicant els dos costats per 3 obtenim així
Demostracions de la desigualtat MA-MG La desigualtat MA-MG es pot demostrar de moltes maneres.
Demostració utilitzant la desigualtat de Jensen La desigualtat de Jensen estableix que el valor d'una funció còncava d'una mitjana aritmètica és més gran o igual que la mitjana aritmètica dels valors de la funció. Com que la funció logarítmica és còncava, tenim
Prenent els antilogaritmes (l'exponencial) dels costats més esquerre i dret, tenim la desigualtat MA-MG.
Demostració per substitució successiva d'elements Hem de demostrar que
amb igualtat només quan tots els nombres són iguals.
Si no tots els nombres són iguals, aleshores existeixen tals que . Si substituïm per i per , la mitjana aritmètica dels nombres no canviarà, però augmentarà la mitjana geomètrica perquè
Si els nombres encara no són iguals, continuem substituint els nombres com s'ha indicat anteriorment. Després de com a màxim d'aquests passos de substitució, tots els nombres s'hauran substituït per mentre que la mitjana geomètrica augmenta estrictament a cada pas. Després de l'últim pas, la mitjana geomètrica serà , demostrant la desigualtat.
Cal destacar que l'estratègia de reemplaçament funciona igual de bé des del costat dret. Si algun dels nombres és 0, també ho serà la mitjana geomètrica, demostrant així la desigualtat trivialment. Per tant, podem suposar que tots els nombres són positius. Si no són tots iguals, existeixen tals que .
Reemplaçant per i per deixa la mitjana geomètrica sense canvis però disminueix estrictament la mitjana aritmètica ja que
. La demostració segueix llavors línies similars a les de la substitució anterior.
Demostracions per inducció Demostració per inducció #1 Dels nombres reals no-negatius , l'enunciat MA-MG és equivalent a
amb igualtat si i només si per a tot .
Per a la demostració següent apliquem la inducció matemàtica i només les regles aritmètiques ben conegudes.
Base d'inducció: Per a , l'afirmació és certa amb igualtat.
Hipòtesi d'inducció: Suposem que l'afirmació MA-MG es compleix per a totes les opcions de nombres reals no-negatius.
Pas d'inducció: Considerem nombres reals no-negatius , . La seva mitjana aritmètica satisfà
Si tots els són iguals a , aleshores tenim igualtat a l'enunciat MA-MG i ja està. En el cas que alguns no siguin iguals a , ha d'existir un nombre que sigui més gran que la mitjana aritmètica i un altre que sigui més petit que . Sense pèrdua de generalitat, podem reordenar el nostre per tal de col·locar aquests dos elements particulars al final: i . Llavors
Ara definim amb
i considerem els nombres que són tots no-negatius. Com que
Així, és també la mitjana aritmètica de nombres i la hipòtesi d'inducció implica
A causa de (*) sabem que
per tant
en particular . Per tant, si almenys un dels nombres és zero, aleshores ja tenim desigualtat estricta a (**). Altrament, el costat dret de (**) és positiu i la desigualtat estricta s'obté utilitzant l'estimació (***) per obtenir un límit inferior del costat dret de (**). Així, en ambdós casos podem substituir (***) en (**) per obtenir
que completa la demostració.
Demostració per inducció #2 Primer de tot demostrarem que per a nombres reals i es dedueix que
De fet, multiplicant els dos costats de la desigualtat per , obtenim
d'on s'obté immediatament la desigualtat requerida.
Ara, demostrarem que per a nombres reals positius que satisfan , es compleix
La igualtat només es compleix si .
Base d'inducció: Per a , l'afirmació és certa a causa de la propietat anterior.
Hipòtesi d'inducció: Suposem que l'afirmació és certa per a tots els nombres naturals fins a
Pas d'inducció: Considerem el nombre natural , és a dir, per a nombres reals positius , es compleix . Existeix com a mínim un , per tant hi ha d'haver com a mínim un . Sense pèrdua de generalitat, fem i .
A més, la igualtat l'escriurem en la forma . Aleshores, la hipòtesi d'inducció implica
No obstant això, tenint en compte la base de la inducció, tenim
que completa la demostració.
Per a nombres reals positius , denotem
Els nombres compleixen la condició . Per tant, tenim
d'on obtenim
amb la igualtat mantenint-se només per a .
Demostració de Cauchy utilitzant inducció directa-retroactiva La següent demostració per casos es basa directament en regles aritmètiques ben conegudes, però utilitza la tècnica, rarament utilitzada, d'inducció cap endavant i cap enrere. És essencialment d'Augustin-Louis Cauchy i es pot trobar al seu Cours d'analyse.
El cas en què tots els termes siguin iguals Si tots els termes són iguals:
aleshores la seva suma és , de manera que la seva mitjana aritmètica és ; i el seu producte és , de manera que la seva mitjana geomètrica és ; per tant, la mitjana aritmètica i la mitjana geomètrica són iguals, com es desitja.
El cas en què no tots els termes siguin iguals Queda per demostrar que si no tots els termes són iguals, aleshores la mitjana aritmètica és més gran que la mitjana geomètrica. Clarament, això només és possible quan .
Aquest cas és significativament més complex i el dividim en subcasos.
El subcas on n = 2 Si , aleshores tenim dos termes, i , i com que (segons la nostra suposició) no tots els termes són iguals, tenim:
per tant
com es desitja.
El subcas on n = 2k Considerem el cas on , on és un nombre enter positiu. Procedim per inducció matemàtica.
En el cas base, , de manera que . Ja hem demostrat que la desigualtat es compleix quan , així que hem acabat.
Ara, suposem que per a un donat, ja hem demostrat que la desigualtat es compleix per a , i volem demostrar que es compleix per a . Per fer-ho, apliquem la desigualtat dues vegades per a nombres i una vegada per a dos nombres per obtenir:
on en la primera desigualtat, els dos costats són iguals només si
i
(en aquest cas, la primera mitjana aritmètica i la primera mitjana geomètrica són iguals a , i de manera similar amb la segona mitjana aritmètica i la segona mitjana geomètrica); i en la segona desigualtat, els dos costats només són iguals si les dues mitjanes geomètriques són iguals. Com que no tots els nombres són iguals, no és possible que ambdues desigualtats siguin igualtats, per la qual cosa sabem que:
com es desitja.
El subcas on n < 2k Si no és una potència natural de 2, aleshores és certament menor que alguna potència natural de 2, ja que la seqüència no té límits anteriors. Per tant, sense pèrdua de generalitat, sigui alguna potència natural de 2 que sigui més gran que .
Així doncs, si tenim termes, denotem la seva mitjana aritmètica per i ampliem la nostra llista de termes així:
Aleshores tenim
així
i
com es desitja.
Demostració per inducció utilitzant càlcul diferencial bàsic La demostració següent utilitza la inducció matemàtica i una mica de càlcul diferencial bàsic.
Base d'inducció: Per a , l'afirmació és certa amb igualtat.
Hipòtesi d'inducció: Suposem que l'afirmació Ma-MG es compleix per a totes les opcions de nombres reals no-negatius.
Pas d'inducció: Per tal de demostrar l'afirmació per a nombres reals no-negatius , hem de demostrar que
amb igualtat només si tots els nombres són iguals.
Si tots els nombres són zero, la desigualtat es compleix amb igualtat. Si alguns nombres, però no tots, són zero, tenim desigualtat estricta. Per tant, podem suposar a continuació que tots els nombres són positius.
Considerem l'últim nombre com una variable i definim la funció
Demostrar el pas d'inducció és equivalent a demostrar que per a tot t, amb només si i són tots iguals. Això es pot fer analitzant els punts crítics de utilitzant una mica de càlcul bàsic.
La primera derivada de ve donada per
Un punt crític ha de satisfer , la qual cosa significa
Després d'una petita reorganització obtenim
i finalment