miniatura|upright=1.4|Évariste Galois proposa una condició necessària i suficient per saber si una equació polinòmica és resoluble o no per àlgebra. Respon així a una qüestió central de la teoria sense resoldre des de feia mil·lennis. El seu mètode subministra resultats innovadors i és l'origen de noves branques de l'àlgebra, que superen el marc de la teoria d'equacions. En àlgebra, la teoria d'equacions és una expressió que es fa servir en història de la ciència. p 83 Designa els treballs que tenen per objectiu principal la resolució d'equacions polinòmiquesVegeu l'entrada "équations, théorie des " a Enciclopèdia Encarta. o equivalents.El terme "equivalent" s'aplica quan algunes transformacions permeten obtenir un altre equació polinòmica que tingui les mateixes solucions que l'equació original, o algunes més que després es poden descartar per una prova en l'equació original. Aquestes equacions, on X designa la incògnita, s'escriuen de la següent manera:En àlgebra és freqüent l'ús de la indeterminada per modelitzar la incògnita. Vegeu Laurent Lafforgue, La théorie de Galois et l'arithmétique Institut des hautes études scientifiques ,
L'estudi d'aquest tipus de qüestions es remunta als primers texts matemàtics coneguts, com per exemple el papir Rhind. Una primera aproximació permet resoldre l'equació en el cas que el grau del polinomi sigui estrictament més petit que cinc. Durant el Renaixement, amb l'estudi de les equacions cúbiques s'arriben a fer servir uns nous nombres.Vegeu el paràgraf Difusió a Europa Aquests nous nombres es qualifiquen inicialment d'imaginaris i posteriorment de nombres complexos. No és fins més tard que aquests nombres intervenen com a solucions d'equacions de segon grau.
A partir de l'edat moderna, el polinomi també és considerat una funció. Aquest enfocament ofereix mètodes per determinar el nombre d'arrels reals, per localitzar les arrels (és a dir trobar regions on es troben) i per trobar aproximacions tan precises com es vulgui. Un dels seus resultats és el teorema fonamental de l'àlgebra, que diu que tota equació polinòmica no constant admet almenys una arrel en els nombres complexos.
Un punt de vista del consisteix a estudiar el conjunt de nombres més petit, tancat respecte de les quatre operacions i que contingui alhora els coeficients i les arrels d'una equació donada. Aquest enfocament queda recollit en la teoria de Galois. Ofereix una condició necessària i suficient per saber si una equació polinòmica es resol per les tècniques descrites pel primer enfocament o, en cas contrari, s'ha de limitar a aproximacions procedents de l'anàlisi. Fins al , la teoria d'equacions es confon amb l'àlgebra. Fonamentalment després de les aportacions de la teoria de Galois, l'àlgebra s'eixampla per tenir en compte noves qüestions. Aquesta teoria és a l'origen de diversos àmbits matemàtics, com la teoria dels grups, la d'anells o, fins i tot, la geometria algebraica.
Si no es precisa més concretament, el terme de teoria d'equacions designa generalmentNo obstant això es troben excepcions. Un contra exemple és el títol del volum III: Teoria d'equacions d'un llibre consagrat a l'anàlisi: J. Favart, Cours d'analyse de l'école polytechnique, Gauthier-Villars, 1963. les equacions polinòmiques.És, per exemple, l'elecció a l'article "Sobre la història del teorema fonamental de l'àlgebra: teoria d'equacions i càlcul integral", Archive for History of Exact Sciences, Vol. 42, núm. 2, pàg. 91 136. En canvi, existeixen nombroses equacions que, sense ser algebraiques, són objecte d'una teoria. Llavors cal precisar la natura de l'equació, com en l'expressió teoria d'equacions diferencials.Es troba per exemple de l'expressió Théorie analytique des équations différentielles ordinaires (Teoria analítica de les equacions diferencials ordinàries), en el programa dels cursos LMD de la universitat Pierre i Marie Curie a París. No existeix una teoria única que s'apliqui a tot tipus d'equacions, ja que formen un conjunt massa dispar.
Primers desenvolupaments miniatura|Diofant al llibre Arithmetica és el primer a descriure la incògnita en el sentit matemàtic del terme.
Tan enrere com es remunten els textos coneguts de matemàtiques s'hi troben qüestions que, adaptades al llenguatge actual, s'expressen en forma d'equacions algebraiques. En un papir de l'antic Egipte es llegeix: Quan l'escriba et diu que 10 és els 2/3 i l'1/10?, p 75. el que es tradueix per 2/3x + 1/10x = 10.
Els Babilonis estudiaren en particular problemes que corresponen a equacions de segon grau. El seu llenguatge era geomètric; el valor que se cerca, que actualment denominem x, s'anomena costat i x² quadrat, però la seva formulació sovint és purament algebraica. Es pot llegir, sobre una tauleta d'argila: He sumat 7 vegades el costat del meu quadrat i 11 vegades l'àrea: 6 15,Aquesta qüestió s'ha extret d'una tauleta conservada al Museu Britànic amb el número 13901: L'algèbre babylonienne (L'àlgebra babilònica), per l'IREM de Rennes. La notació 6 15 és ambigua; s'ha escollit una de les significacions possibles. per descriure, en la numeració sexagesimal utilitzada pels Babilonis, l'equació 11x² + 7x = 6x60 + 15= 375. El sentit geomètric de la suma d'una àrea i d'una longitud és ambigua, tanmateix cap comentari no sosté una interpretació purament algebraica de la qüestió (dels nombres multiplicats i sumats). No es desenvolupa cap eina algebraica, no existeix cap incògnita que es pugui determinar amb l'ajuda d'un mètode de càlcul. Els egipcis resolgueren l'equació del primer grau per tempteig, amb l'ajuda del mètode de la falsa posició i els babilonis disposaven d'algorismes sense cap altra justificació que l'empírica, és a dir que finalment el valor trobat és la solució buscada.
Caldrà esperar més de dos mil·lennis a trobar un esbós d'una veritable "teoria". És desenvolupada de forma independent per tres cultures matemàtiques: Grècia, la civilització àrab i l'Índia. Diofant, un matemàtic del , formalitza larithme, una lletra que ell defineix de la següent manera:Col·lectiu IREM-APMEP de Poitiers, (Institut de recherche sur l'enseignement en mathématiques - Association des professeurs de mathématiques de l'enseignement public), Histoire de symboles, capítol 12: "La première inconnue", 2003, Document en línia El nombre que posseeix una quantitat indeterminada d'unitats es diu l'arithme, i la seva marca distintiva és σ. Com aclareix més endavant larithme se suma i es multiplica: La inversa de l'arithme multiplicada pel biquadrat de l'arithme dona el cub de l'arithme.P. Ver Eecke, Diophante d'Alexandrie. Les Six Livres Arithmétiques et le Livre des Nombres Polygones, Desclée de Brouwer Liège, 1926, p 2. Això significa, en llenguatge actual, la inversa de x multiplicada per x4 i que el resultat és igual a x3. Aquest pas permet una verdadera formulació matemàtica de l'equació i, sobretot, una manera de resoldre-ho. Al , abans que Diofant fos traduït a l'àrab,, pàg. 76 el matemàtic d'origen persa Muhàmmad ibn Mussa al-Khwarazmí desenvolupà una idea anàloga. La seva incògnita s'anomenava say.R. Rashed, Entre arithmétique et algèbre: recherches sur l'histoire des mathématiques arabes, París, Les Belles lettres, 1984 Una altra vegada, el nou formalisme ofereix un mitjà de resolució de l'equació. R. Rashed comenta al respecte: [Amb Al-Khwarazmí] la noció base és la noció d'equació, que pot cobrir una classe infinita de problemes, geomètrics o aritmètics: la unitat ja no és l'objecte sinó que ho és l'operació mateixa.J. Dhombres, G. Beaujouan, G. Mazars, J.-C. Martzloff, R. Rashed. Le matin des mathématiciens, Berlín, 1985, pàg. 146 La mateixa idea també és present en el matemàtic indi Bhaskara II i queda recollida en la seva obra titulada Bījagaṇita.L. Rodet. L'algèbre d'Al-Khârizmi et les méthodes indienne et grecque, llegir-lo a Gallica, p 24.
Àlgebra àrab miniatura|upright=1.4|esquerra|Els polinomis d'al-Samaw'al representats en un quadre prefiguren una concepció purament abstracta de l'àlgebra.
Sovint es considera que el matemàtic Al-Khwarazmí va ser el fundador de la branca de les matemàtiques anomenada àlgebra. Des del punt de vista de l'etimologia, el títol del seu tractat sobre les equacions: Kitâb al-jabr wa al-muqâbala fa servir el terme al-jabr, que ha derivat en la paraula àlgebra. En àrab, al-jabr indica transformar una subtracció en un membre, en una addició a l'altre membre. amb l'objectiu d'obtenir únicament els coeficients positius. Per exemple: 2x² + 100 - 20x = 58, seguint aquest procediment, es transforma en 2x² + 100 = 58 + 20x. Dahan-Dalmedico i Peiffer precisen que el treball d'Al-Khwarazmí es pot concretar en: La partida de naixement d'una teoria de les equacions quadràtiques, en el conjunt dels nombres positius (gairebé sempre racionals), teoria que implica encara algunes llacunes., pàg. 85. No és només l'etimologia el que justifica aquesta adjudicació a Al-Khwarazmí, ja que ell s'interessa per totes les equacions de segon grau, mentre que Diofant només intenta resoldre alguns casos particulars, amb solucions d'enters o racionals. Al-Khwarazmí té un procés més sistemàtic; l'objecte del seu tractat és oferir un mètode que permeti trobar amb certesa una solució de l'equació, si aquesta existeix.
Els progressos en teoria d'equacions no s'aturen amb Al-Khwarazmí. Ell és l'origen d'una escola matemàtica que es desenvolupa al llarg de diversos segles. El seu deixeble Abu-Kàmil dissipa una primera limitació. Al començament, les equacions que s'estudien són gairebé sempre amb coeficients racionals; Abu-Kàmil generalitza l'estudi als coeficients irracionals. La concepció inicial del nombre en els àrabs és heretada dels grecs i es limita a les fraccions. Les grandàries incommensurables, que corresponen als nostres irracionals, són proporcions entre longituds però no posseeixen l'estatus de nombre. Al-Khwarazmí els anomena gidr asamm, que significa arrel muda o cega. Dos segles més tard, per a matemàtics com Omar Khayyam, les fraccions i les proporcions incommensurables són tractades en els càlculs de la mateixa manera. Els dos conceptes s'anomenen al-adad, que significa nombre (els racionals es designen pel terme al-adad al muntiqa i els irracionals per al-adad al-summa), i la diferència és més que filosòfica., pàg. 103.
Posteriorment es desenvolupen eines específiques que permeten un càlcul més senzill de les multiplicacions de polinomis. Samàwal les anota amb la forma d'una taula prefigurant, una representació propera al concepte modern de polinomi formal.
Geometria al servei de l'àlgebra
miniatura|upright=1.4|Durant molts segles, els gnòmons i la geometria euclidiana foren el motor de la resolució d'equacions algebraiques.
La geometria, i particularment la dels Elements d'Euclides, té un paper fonamental en aquesta àlgebra naixent. En el cas d'una equació de segon grau i després de dividir entre el coeficient del monomi de segon grau, el monomi del segon grau pot ser vist com l'àrea d'un quadrat el costat del qual és la incògnita que se cerca. En el cas de l'equació de primer grau, s'interpreta el terme del primer grau com l'àrea d'un rectangle les dimensions del qual són la incògnita i el coeficient del monomi; la constant s'interpreta com l'àrea d'un quadrat perfectament determinat. Aquest enfocament permet a Euclides resoldre problemes de primer i segon grau.En aquest sentit, vegeu el Llibre II dels Elements d'Euclides. L'enfocament de l'anàlisi dels àrabs és diferent, ja que intenten resoldre una equació, en aquest cas particular, del segon grau. Tanmateix el nucli de la demostració és el mateix: una anàlisi d'una configuració geomètrica, construïda sobre la base d'un gnòmon. De manera metòdica, l'estudi del gnòmon permet establir les tres identitats notables font de la resolució de les equacions del segon grau.