miniatura|Funció d'interpolació g(t) per a Fs=44100 mostres per segon (estàndard CD-Audio). Excepte per a t=0, l'interval entre passos per zero (línies verticals verdes) representa l'interval entre mostres (~22,68 µs per a aquest exemple). El teorema de mostratge de Nyquist-Shannon, també conegut com a teorema de mostratge de Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon, criteri de Nyquist o teorema de Nyquist, és un teorema fonamental de la teoria de la informació, d'especial interès en les telecomunicacions.
Aquest teorema va ser formulat en forma de conjectura per primer cop per Harry Nyquist l'any 1928 (Certain topics in telegraph transmission theory), i va ser demostrat formalment per Claude E. Shannon l'any 1949 (Communication in the presence of noise).
El teorema tracta del mostreig, que no ha de ser confós o associat amb la quantificació, procés que segueix el de mostreig en la digitalització d'un senyal i que, al contrari del mostreig, no és reversible (es produeix una pèrdua d'informació al procés de quantificació, fins i tot en el cas ideal teòric, que es tradueix en una distorsió coneguda com a error o soroll de quantificació i que estableix un límit teòric superior a la relació senyal-soroll). Dit d'una altra manera, des del punt de vista del teorema, les mostres discretes d'un senyal són valors exactes que encara no han patit cap arrodoniment o truncament sobre una precisió determinada, és a dir, encara no han estat quantificades.
La intenció del suec Harry Nyquist en formular aquest teorema era la d'obtenir una enregistrament digital de qualitat i també es pot conèixer amb el nom de condició de Nyquist. Si es fa un mostreig a un baix valor, hi ha una possibilitat que el senyal original no estigui únicament definit pel nostre senyal mostrejat. Si això passa, no es té cap garantia que el senyal estigui correctament reconstruït. Per aquest motiu es va crear el teorema de Nyquist, que diu el següent: z
Antecedents històrics El Teorema de mostratge estava implícit en el treball de Harry Nyquist del 1928 ("Alguns temes de la teoria de la transmissió telegràfica"), en què va demostrar que fins a 2B mostres de polsos independents podien ser enviades mitjançant un sistema d'amplada de bandaB; no obstant, no va considerar implícitament el problema de mostrejar i reconstruir un senyal continu. Gairebé al mateix temps, Karl Küpfmüller va mostrar un resultat semblant, i va discutir l'impulsió de resposta d'una funció síncrona d'un filtre limitador de banda, per mitjà de la seva integral, el gradient de resposta d'integrar el sinus.
El teorema de mostratge, essencialment un dual del resultat de Nyquist, va ser provat per Claude E. Shannon. V. A. Kotelnikov va publicar resultats similars el 1933, de la mateixa manera que el matemàtic E. T. Whittaker el 1915, J. M. Whittaker el 1935 i Gabor el 1946 ("Theory of communication"). L'any 1999, la Fundació Eduard Rhein va atorgar a Kotelnikov el seu premi de recerca bàsica "per la primera formulació teòricament exacta del teorema de mostratge".
Cal notar que el concepte d'amplada de banda no és necessàriament sinònim del valor de la freqüència més alta en el senyal d'interès. Als senyals per als quals això sí que és cert se'ls anomena senyals de banda base, i no tots els senyals comparteixen aquesta característica (per exemple, les ones de ràdio en freqüència modulada).
Altres descobridors Altres que han descobert de manera independent o han tingut un paper en el desenvolupament del teorema de mostratge han estat discutits en diversos articles històrics, per exemple, per Jerri i per Lüke]. Per exemple, Lüke assenyala que H. Raabe, assistent de Küpfmüller, va demostrar el teorema en el seu doctorat de 1939. dissertació; el terme condició de Raabe es va associar amb el criteri de representació inequívoca (taxa de mostratge superior al doble de l'ample de banda). Meijering esmenta diversos altres descobridors i noms en un paràgraf i un parell de notes al peu a la seva publicació, A Chronology of Interpolation From Ancient Astronomy to Modern Signal and Image Processing.
Descripció El teorema demostra que la reconstrucció exacta d'un senyal [Ona periòdica] continu en banda base a partir de les seves mostres és matemàticament possible si el senyal es troba limitat en banda i la taxa de mostreig és superior al doble de la seva amplada de banda. Dit d'una altra manera, la informació completa del senyal analògic original que compleix el criteri anterior es troba descrita per la sèrie total de mostres que s'han obtingut del procés de mostreig. Per tant, tots els valors intermedis entre les diferents mostres queden definits per les mostres obtingudes.
Si la freqüència més alta continguda en un senyal analògic és i el senyal es mostra a , llavors es pot recuperar totalment a partir de les seves mostres mitjançant la següent funció d'interpolació:
miniatura|Exemple de reconstrucció d'un senyal de 14,7 kHz (línia gris discontínua) amb només cinc mostres. Cada cicle es compon de només 3 mostres a 44100 mostres per segon. La reconstrucció teòrica resulta de la suma ponderada de la funció d'interpolació g(t) i les seves versions corresponents desplaçades en el temps g(t-nT) amb , on els coeficients de ponderació són les mostres x(n). A la imatge cada funció d'interpolació està representada amb un color (en total, cinc) i estan ponderades al valor de la seva corresponent mostra (el màxim de cada funció passa per un punt blau que representa la mostra).
Així, es pot expressar com:
on són les mostres de .
El concepte d'amplada de banda no necessàriament és sinònim del valor de la freqüència més alta del senyal. Els senyals que ho compleixen se'ls anomena senyals de banda base, i no tots els senyals comparteixen aquesta característica.
Quan volem convertir un senyal analògic a digital, primer posarem un filtre anomenat "filtre anti-Aliasing". Aquest filtre ha de complir que la seva freqüència de tall sigui menor que la freqüència de mostreig dividida per 2. És a dir, aquest filtre ens assegura que es compleix el Teorema de Nyquist i d'aquesta manera no hi ha solapament freqüencial.
El procés de mostreig El teorema descriu dos processos per al processament de senyals: un de mostreig, en què un temps continu del senyal es converteix en un temps discret del senyal, i un procés de reconstrucció, en el qual el senyal continu original és recuperat a partir del senyal de temps discret.
El senyal continu varia amb el temps, per tant el procés de mostreig es fa mesurant el valor del senyal continu cada cert temps (anomenat interval de mostreig). A la pràctica, per als senyals que estan en funció del temps, l'interval de mostreig és normalment bastant petit de l'ordre de mil·lisegons o microsegons. Aquesta seqüència de mostres permet representar el senyal original, ja que cada mostra s'associa amb l'instant de temps en què ha estat mesurat. L'invers de l'interval de mostreig (T) és la freqüència de mostreig representada per fs que és mesurada en mostres per unitat de temps (Hz).
El procés de reconstrucció La base és ortogonal. Pes tal de fer-la ortonormal, necessitem un factor de normalització d'arrel de T (període). En aquests processos venen definits pel domini en el temps, i els coeficients d'expansió són calculats mostrejant la funció en el temps amb un valor de 2 * Pi partit pel període.
Si el senyal original conté un component de freqüència igual a la meitat de la taxa o freqüència de mostreig, la condició de Nyquist no es compleix (ha de ser estrictament major que el doble de la freqüència més alta del senyal original). El senyal reconstruït pot tenir un component en aquesta freqüència, però l'amplitud i la fase d'aquest component en general (estadísticament amb probabilitat zero, ja que és un punt d'infinits) no coincidirà amb el component original.
Errors d'interpretació freqüents amb relació al teorema i al procés de mostreig És un error freqüent i estès creure que, un cop satisfets els criteris del teorema (criteris de Nyquist), la qualitat de la reconstrucció d'un senyal en tota la seva banda (el que exclou l'ús de tècniques de Noise Shaping per alterar selectivament la distorsió conseqüència del procés de quantificació en senyals completament digitalitzats, és a dir, mostrejats i quantificats) és funció de la taxa de mostreig emprada en el procés de mostreig. Això és totalment fals des de la perspectiva matemàtica del teorema i un error, un cop considerades les limitacions pràctiques, en l'àmbit pràctic de la física o l'enginyeria. El procés de mostreig (que no s'ha de confondre amb el de quantificació) és, des del punt de vista matemàtic perfectament reversible, és a dir, la seva reconstrucció és exacta, no aproximada. Dit d'una altra manera, des del punt de vista matemàtic al qual es refereix el teorema de mostreig de Nyquist-Shannon, la reconstrucció d'un senyal periòdic amb components de fins a 10 kHz és idèntica tant si s'obté d'una taxa de mostreig de 25.000 mostres per segon com d'una de 50.000 mostres per segon. Matemàticament, no aporta res incrementar la taxa de mostreig una vegada que aquesta compleix el criteri de Nyquist: la informació necessària per a la seva reconstrucció total existeix des que la taxa compleix el criteri. També són errors freqüents i estesos, relacionats directament amb el que s'ha exposat en aquest paràgraf, creure que els punts que resulten del procés de mostreig s'uneixen en la reconstrucció mitjançant rectes (interpolació lineal) formant dents de serra en les freqüències representades per poques mostres o que hi ha un procés de càlcul que realitza la interpolació de manera predictiva. En resum, el teorema de mostreig demostra que tota la informació d'un senyal continguda en l'interval temporal entre dues mostres qualssevol està descrita per la sèrie total de mostres sempre que el senyal registrat sigui de naturalesa periòdica (com ho és el so) i no tingui components de freqüència igual o superior a la meitat de la taxa de mostreig, no cal inventar o predir l'evolució del senyal entre mostres.
A la pràctica i atès que no existeixen els filtres analògics passa-baix ideals, s'ha de deixar un marge entre la freqüència màxima que es desitja registrar i la freqüència de Nyquist (freqüència crítica) que resulta de la taxa de mostreig elegida (per exemple, per a CD-Audio la freqüència màxima dels components a registrar i reproduir és de 20 kHz i la freqüència crítica de la taxa de 44.100 mostres per segon emprada és de 22,05 kHz, un marge del 10% aproximadament per a aquesta aplicació). Però aquest marge és una necessitat que resulta de les limitacions físiques d'un filtre de reconstrucció (o filtre antialiasing) real, i no una consideració que inclogui (o hagi d'incloure) el teorema, que pretén establir el marc teòric (matemàtic) en el qual s'han de fonamentar els professionals que tracten amb el processament digital de senyals. De vegades es fan servir tècniques de sobremostreig per a la reconstrucció d'un senyal per tal d'augmentar artificialment aquest marge i permetre l'ús de filtres de fase lineal (retard de grup constant) a la banda passant i, en general, més senzills i econòmics amb pendents d'atenuació més suaus. En tot cas, tant el marge com l'ús de tècniques de sobremostreig són recursos d'enginyeria per tractar restriccions pràctiques que en res invaliden la demostració i el contingut del teorema. El teorema és, de fet, el marc analític sobre el qual les restriccions reals (no ideals) han de ser estudiades.
Nous formats i la seva relació amb les interpretacions errònies sobre el teorema i la seva utilitat pràctica