La duplicació del cub (també conegut com a problema delià) és un dels tres problemes irresolubles mitjançant una construcció amb regle i compàs de la geometria grega.
Juntament amb la quadratura del cercle i la trisecció de l'angle, formen els anomenats tres problemes especials de la matemàtica grega. Tot i que el problema de la quadratura del cercle també es troba en altres cultures, probablement de forma independent, i que ja havia estat tractat pels egipcis, la duplicació del cub i la trissecció de l'angle són d'origen purament prehel·lènic o hel·lènic.
La duplicació del cub ha estat un dels problemes més importants i influents de la història de les matemàtiques, ja que molts dels intents per solucionar-lo han desembocat en l'aparició i desenvolupament de moltes eines i teories matemàtiques importants.
Història Segons la llegenda, els ciutadans d'Atenes van consultar a l'oracle d'Apol·lo de Delos el 430 aC. Volien saber com podien eliminar una plaga que estava arrasant les seves terres. L'oracle va respondre que per aturar la plaga havien de doblar la mida del seu altar. Els habitants d'Atenes van doblar la longitud de cada costat de l'altar i la plaga es va incrementar. La interpretació correcta era que havien de doblar el volum de l'altar i no simplement els seus costats. Aquest va ser realment un problema molt difícil de resoldre, però el 350 aC va ser resolt gràcies als esforços de Menaechmus, quan la plaga havia acabar algunes dècades abans. Aquest problema s'anomena comunament "problema delià" degut a aquesta llegenda.
Hipòcrates i la reducció al càlcul del mig proporcional Hipòcrates de Quios (ca. 470 aC – ca. 410 aC) va ser un famós matemàtic, geòmetra i astrònom de l'antiguitat. Segons Aristòtil, encara que era un talentós geòmetra, era estult i presentava una manca de sentit comú en altres aspectes .
En l'àmbit de les matemàtiques, la seva major fita va ser que fou el primer matemàtic a escriure un llibre de geometria ordenat de manera sistemàtica, és a dir, demostrant els diferents teoremes a partir d'un conjunt reduït d'axiomes. Va ser anomenat Elements (un nom que Euclides reprengué per al seu famós tractat), del qual només ha sobreviscut un petit fragment. També se li atribueix ser el primer de fer servir el mètode de la reducció a l'absurd com a eina de demostració matemàtica.
En l'àmbit de la geometria, a part d'estudiar el problema de la duplicació del cub, Hipòcrates també va estudiar altres problemes clàssics com el de la quadratura del cercle. Fins aleshores, mai s'havia aconseguit la quadratura d'una figura amb línies corbes i els matemàtics d'aquella època començaven a intuir que seria impossible. Hipòcrates, emperò, va aconseguir quadrar una figura amb línies corbes coneguda com a lluna d'Hipòcrates. En concret, va demostrar que l'àrea de la lluna de la figura és igual a l'àrea del triangle .
Quant a la duplicació del cub, Hipòcrates fou el responsable d'una reducció en el problema, de manera que l'enunciat fos aparentment més senzill. Tal reducció va fer pensar als diferents geòmetres que el problema podria ser resolt, però les seves suposicions eren infundades, ja que tal com es pot veure a la secció [sec:prova] és impossible aconseguir la duplicació del cub només amb regle (no marcat) i compàs.
Aquesta reducció consisteix a observar que el volum del cub augmenta seguint una progressió geomètrica cada cop que dupliquem la mida de l'aresta. Això implica que per trobar un volum igual al doble del volum inicial, la mida de l'aresta ha d'estar entre i , on és la mida inicial de l'aresta.
Com és una progressió geomètrica, cal utilitzar el mig proporcional (mitjana geomètrica) per tal de trobar aquest valor. I aquesta és la coneguda reducció d'Hipòcrates, la qual redueix el problema de la duplicació del cub al de trobar un mig proporcional.
Si denotem els dos mitjos proporcionals per i , aleshores, d'aquestes proporcions es té:
De manera que:
Per tant:
En conseqüència, es té que:
Així, és el valor de l'aresta d'un cub que té el volum doble d'un cub d'aresta . La construcció d'un segment d'aquesta longitud utilitzant regle (no marcat) i compàs és impossible, tal com es va poder demostrar utilitzant matemàtica més moderna.
El problema a l'antiga Grècia miniatura|Il·lustració de la construcció amb regle i compàs Hi ha moltes maneres de construir en què s'utilitzen eines diferents al regle i al compàs. Realment, algunes d'aquestes eines poden ser construïdes amb regle i compàs però han de ser tallades del paper abans d'utilitzar-les. Per exemple, Sir Isaac Newton, va construir un regle amb una única unitat de distància marcada.
Arquirtes Arquites de Tàrent (c. 428 aC - 350 aC) va ser un matemàtic grec, líder polític i filòsof que visqué durant la primera meitat del . Fou contemporani a Plató, amb qui mantingué certa relació. De fet, Plató assegura en la seva Carta Setena que Arquites mirà de salvar-lo de les urpes del tirà Dionís II de Siracusa enviant una nau a Sicília per rescatar-lo l'any 361 aC. Malgrat tot, la seva vinculació, personal i filosòfica, va ser complexa i hi ha mostres de desavinences entre ambdós.
Gran part de la seva obra està perduda, però se'n té constància per les referències que hi fan diversos autors. És considerat el primer a resoldre el problema. Existeixen indicis que va contribuir al desenvolupament de l'òptica i va establir les bases matemàtiques de la mecànica. Encara que tenim poca informació sobre la seva cosmologia, va desenvolupar l'argument més famós de la infinitud de l'univers en l'antiguitat. A més, és autor del que podria ser el primer text on s'identifica el grup de quatre ciències canòniques (aritmètica, geometria, astronomia i música), que més endavant, a l'Edat Mitjana, seria conegut amb el nom de quadrivium.
Resolució La solució plantejada per Arquites té la particularitat que no està construïda sobre el pla, sinó a l'espai, i resulta de la intersecció de tres superfícies de revolució: un con recte, un cilindre i un tor.
Considerem dos segments , entre els quals haurem de trobar les mitjanes proporcionals. Prenent com a diàmetre, es traça una circumferència que tingui com a corda. Sobre aquesta circumferència s'aixeca un cilindre; en el cas d'Arquites, es tracta d'un semicilindre, perquè ho restringeix tot a un quadrant. En el pla perpendicular a la circumferència i que conté la recta , es dibuixa una semicircumferència sobre el diàmetre . Quan fem girar aquesta semicircumferència al voltant de la recta perpendicular al pla en el punt , obtenim un semitor de diàmetre interior nul que tallarà el cilindre en una determinada corba.
Per acabar, considerem la recta tangent a en el pla de i anomenem el seu punt de tall amb la recta que conté el segment . Quan fem girar el triangle al voltant de l'eix , obtenim un con recte. La superfície del con es tallarà en un punt amb la corba que resultava de la intersecció del semitor i el semicilindre. Notem que el punt és part d'una semicircumferència ( la intersecció amb ) sobre la superfície d'aquest con perpendicular a i amb el diàmetre , on és l'altre punt comú amb la circumferència , també perpendicular a .
Recordem que per construir el semitor, hem fet girar una semicircumferència perpendicular a al voltant d'un eix perpendicular al pla per . Considerem en particular la semicircumferència que resulta d'aquesta rotació i que passa per ; anomenem el seu punt de tall amb el pla de . La semicircumferència en qüestió és, doncs, . Direm que el segment interseca amb la circumferència en el punt . Observem que és perpendicular al pla de , ja que és sobre el cilindre, que s'ha construït amb la circumferència com a base. Sigui el punt on es talla amb el diàmetre de la semicircumferència . Tracem els segments , , i .
Com que les semicircumferències i són perpendiculars al pla de , es compleix que és perpendicular al diàmetre . Per la proposició 35 del tercer llibre d'Euclides, es dona la igualtat
pel que és un angle recte, com també ho és (per estar inscrit en una semicircumferència). Això ens permet concloure que és paral·lel a. Per la semblança entre els triangles, es verifica:
és a dir,
de manera que , , i estan en proporció contínua. Així, i són les dues mitjanes proporcionals buscades. Veurem tot seguit que ens porten a la duplicació del cub en el cas particular que , però abans escriurem aquesta resolució en el llenguatge de la geometria analítica actual per comprovar que ens condueix al mateix resultat.
Si és l'eix , la recta perpendicular a que passa per en el pla és l'eix i la recta que passa per paral·lela a l'eix , llavors queda determinat per la intersecció de les superfícies
on i , que són respectivament el con recte, el cilindre i el tor.
De les dues primeres equacions, obtenim
i d'aquesta i la corresponent al tor,
o, cosa que és el mateix i com ja havíem indicat,
Tenim aleshores
En el cas particular que , obtenim , de forma que s'arriba a la duplicació del cub.
Èudox Èudox de Cnidos (c. 408 aC - 355 aC) va ser un matemàtic, filòsof, astrònom i metge grec que va estudiar amb Arquites, de qui probablement adquirí l'interès per la duplicació del cub, així com per la teoria de nombres i la teoria de la música. Va fer importants contribucions a la teoria de la proporció, on va donar una definició que permetia longituds possiblement irracionals que s'havien de comparar de manera similar al mètode de multiplicació creuada utilitzat avui. La teoria desenvolupada per ell figura al cinquè volum dels Elements d'Euclides, on hi figura l'axioma d'Èudox en la definició 4. També hi va aparèixer la seva definició d'igualtat entre dues raons.
Una altra contribució notable d'Èudox a les matemàtiques fou un treball sobre la integració, utilitzant el mètode d'exhaustió i el seu propi treball sobre la teoria de la proporció. També va desenvolupar una teoria planetària que, influïda per la filosofia dels pitagòrics a través del seu mestre Arquites, descrivia un sistema basat en esferes giratòries, cadascuna al voltant d'un eix que passava pel centre de la Terra. Se'l considera, de fet, el pare de l'astronomia matemàtica.
Resolució Sabem de la resolució d'Èudox per mitjà d'Eutoci, que en tenia una versió probablement errònia. En primer lloc, perquè Eratòstenes assegurava que el mètode d'Èudox usava línies corbes que a la solució no hi figuraven i, en segon lloc, perquè es tractava una proporció discreta com si fos contínua. Pel que fa a la primera observació d'Eutoci, podria explicar-se per la possibilitat que Èudox efectivament tractés amb corbes, però només hagués indicat un o dos punts d'aquesta suficients per al seu propòsit. Pel que fa a l'error, Èudox en sabia massa com per confondre una proporció contínua amb una discreta, i l'explicació més convicent seria que s'hagués transcrit malament la seva solució.
Molts anys després, Paul Tannery, al , va suggerir que la solució d'Èudox era en realitat una adaptació de la d'Arquites: una projecció de la construcció del seu mestre en el pla que conté la circumferència ABC. És a dir, una projecció de la intersecció entre el con i el tor al pla de ABC que, en intersecció amb la mateixa circumferència ABC, donava el punt M de la figura d'Arquites. És aquesta interpretació la que estudiem tot seguit.
La projecció en el pla de de la intersecció del con i el tor dona la igualtat
que, en coordenades polars amb l'origen i l'eix polar, equival a
Resulta senzill trobar qualsevol punt d'aquesta corba. Considerem la circumferència i siguin (el diàmetre) i (una corda) els dos segments dels que s'han de trobar dues mitjanes proporcionals. Tenim i . Si dibuixem on , perpendicular a , es dona
miniatura|Resolució d'Èudox|391x391px
o bé
Sigui qualsevol punt de i unim . Si , aleshores
Ara tracem una circumferència de centre i radi que tallarà el diàmetre en un punt . Aixequem una perpendicular a aquest diàmetre que passi per i anomenem la intersecció amb la recta que conté el segment . Llavors