Un polinomi és una expressió algebraica formada per la suma o resta de diversos monomis no semblants, anomenats termes del polinomi. El cas concret d'un polinomi amb dos termes s'anomena binomi.Polynomial. MathWorld
Són polinomis:
Existeixen certs criteris a l'hora de representar un polinomi, tot i que no són normes d'aplicació obligatòria:
Quan dos termes dins d'un polinomi es poden sumar, llavors s'utilitza el polinomi resultant de sumar aquests termes. Per exemple:
Si el polinomi és: , llavors és millor utilitzar
Si els factors dels monomis que se sumen es repeteixen, sempre s'escriuen en el mateix ordre:
Si el polinomi és: , llavors és millor utilitzar
Els termes s'ordenen segons el grau de l'últim factor dels termes, en ordre decreixent.
Si el polinomi és: , llavors és millor utilitzar
Un polinomi pot ser una expressió com una suma de potències enteres (en l'exemple: 3, 2, 1 i 0) d'un nombre (x) multiplicades per uns coeficients (en l'exemple: 2, -5, 6 i -1). La notació ordinària pels enters els representa com a polinomis amb potències de 10: per exemple, . Si el nombre x a no s'especifica, però s'imagina capaç de prendre valors d'un conjunt de valors, s'anomena variable, i la fórmula determina una funció, de la qual el seu "domini" és el conjunt de valors que x pot prendre. Aquesta mena de funcions s'anomenen funcions polinòmiques o, breument, simplement polinomi; generalment el domini d'un polinomi se suposa que tracta de tots els nombres reals o bé tots els nombres complexos. El grau d'un polinomi és l'exponent (potència) més elevat de la variable x; per exemple, és de grau 3. Un nombre aïllat, considerat com el representant d'una funció constant, és un polinomi de grau zero (excepte que el nombre 0, com a polinomi, no se li atribueix cap grau). Els polinomis de grau 1, 2, 3, 4 són anomenats lineals, quadràtics, cúbics, biquadràtics, respectivament.
Tots els polinomis tenen una forma expandida, on s'empra la regla distributiva per a suprimir tots els parèntesis; per exemple: . (Alguns polinomis també tenen la forma de factors, per exemple (x-1)*(x-1), on apareixen els parèntesis). A la forma expandida, un terme (per exemple -2x) del polinomi és una part del polinomi que és el producte d'un nombre anomenat coeficient (al terme -2x, el coeficient és -2) i zero o més variables, i on una variable que apareix més d'una vegada s'expressa una vegada amb un exponent (per exemple, tot i que són el mateix, en lloc d'escriure x*x-2x+1, hom escriu on l'exponent de x² és 2). Cada polinomi en forma expandida és la suma d'uns termes, on la resta es fa mitjançant la suma de termes amb coeficients negatius.
Els polinomis es classifiquen pel seu grau i nombre de variables. El grau d'un terme en un polinomi és la suma de tots els exponents de les variables del terme, on una variable sense exponent s'entén que té exponent 1 (per exemple, el terme és de grau 3+2=5 i el terme és de grau 2+1=3). En particular, un terme sense variables té grau zero. El grau d'un polinomi coincideix amb el grau major de tots els termes del polinomi, sense tenir en compte els termes amb coeficient zero. Així a el terme x² té grau 2 i és el grau més gran dels tres termes del polinomi, per tant també el grau del polinomi és 2. Si tots els termes del polinomi tenen coeficients zero, llavors el grau del polinomi no és zero, sinó que és indefinit, o en alguns contexts es diu que té un altre valor (com ara −∞).
Exemple:
és equivalent a la forma expandida:
A aquesta forma expandida, el segon terme és −3xy i el seu grau és 2. El polinomi és de segon grau amb tres variables (x, y i z). Si donem valors a les variables, per exemple, x = 10, y = 5, z = 100 llavors l'avaluació del polinomi és 250, ja que: .
Tot polinomi d'una variable és equivalent a un polinomi de la forma: .
Aquesta darrera forma s'usa de vegades com a definició per a un polinomi d'una variable.
L'avaluació d'un polinomi consisteix a assignar un nombre a cada variable i efectuar les operacions indicades (en l'exemple anterior hem assignat valors a x, y, z, i hem vist que l'avaluació ens donava 250). De vegades, per a polinomis d'una variable, l'avaluació es fa emprant l'esquema de Horner: .
Una equació polinòmica és una equació on s'iguala un polinomi a zero o a un altre polinomi. En el segon cas, l'equació hom la converteix a la primera sense més que sostraure al primer polinomi el segon. Quan hom té un polinomi igualat a zero, el grau de l'equació és el grau del polinomi. Les variables sovint són anomenades "incògnites", en el sentit que l'equació és un problema encara desconegut fins a ser resolt trobant nombres per a les variables de manera que l'equació sigui certa en avaluar el polinomi.
A l'àlgebra elemental, es donen mètodes per a resoldre equacions de polinomis, d'una variable, de primer i segon grau. El nombre de solucions possibles pot ser igual o menor al grau de l'equació. Ací s'ha de tenir en compte la multiplicitat de solucions. Per exemple, l'equació només té una solució x=1, en lloc de dues (el grau de l'equació és 2 i, per tant, hom pot esperar trobar 2 valors de x pels quals l'equació es verifica, però en ser la solució doble, només x=1 verifica l'equació).
Un sistema d'equacions polinòmiques és un conjunt d'equacions que han de ser avaluades amb la mateixa assignació de nombres a les variables a cada equació. Els sistemes d'equacions són normalment agrupats amb una sola clau oberta a l'esquerra. A àlgebra elemental, es donen mètodes per a resoldre sistemes d'equacions lineals de diverses incògnites. Per a aconseguir una solució única el nombre d'equacions hauria de ser igual al nombre d'incògnites. Els sistemes d'equacions lineals de diverses incògnites són tractats a l'àlgebra lineal.
Exemples més avançats de polinomis També a l'àlgebra lineal, el polinomi característic d'una matriu quadrada codifica propietats importants de la matriu (matemàtiques)).
A la teoria de grafs el polinomi cromàtic d'un graf codifica les diferents maneres colorar els vèrtexs del graf utilitzant x colors.
A l'àlgebra abstracta, hom pot definir polinomis amb coeficients a qualsevol anell.
A la teoria de nusos, el polinomi d'Alexander, el polinomi de Jones, i el polinomi HOMFLY són importants invariants de nusos.
Història La determinació de les arrels (que hom també pot anomenar com rels o zeros) d'un polinomi, o les "resolucions d'equacions algebraiques", és un dels problemes més antics a matemàtiques. Alguns polinomis, com ara , no tenen arrels dins dels nombres reals. Ara bé, si s'estenen les solucions possibles al domini dels nombres complexos, llavors, qualsevol polinomi (no constant) té arrels: aquesta és l'afirmació que fa el teorema fonamental de l'àlgebra.
Hi ha una diferència entre aproximar arrels i trobar fórmules tancades concretes per a les arrels. Les fórmules per a les arrels d'un polinomi de fins a grau 2 són conegudes des de l'antiguitat (vegeu equació quadràtica) i fins a grau 4 són conegudes des del (vegeu Gerolamo Cardano i Niccolo Fontana Tartaglia). Però les fórmules per a grau 5 s'escaparen dels recercadors un temps molt llarg. El 1824, Niels Henrik Abel va provar l'esclatant resultat que no pot haver-hi cap fórmula general (que inclogui operacions aritmètiques i radicals) per a les rels d'un polinomi de grau 5 o major en termes dels seus coeficients (vegeu teorema d'Abel-Ruffini). Aquest resultat marcà l'inici de la teoria de Galois el qual s'enceta en un estudi detallat de les relacions entre les arrels dels polinomis.
El motor diferencial de Charles Babbage fou dissenyat per a crear una llarga taula de valors de logaritmes i funcions trigonomètriques automàticament, per l'avaluació aproximada de polinomis a molts punts fent l'ús del mètode de diferències de Newton.
Funcions polinòmiques Per a unes constants numèriques donades , en alguns dominis (sovint R o C), amb an diferent de zero, llavors una (funció) polinòmica de grau n és una funció de la forma:
Més concisament, una funció polinòmica pot escriure's en la notació sigma com:
Les constants són anomenades els coeficients del polinomi. a0 és anomenat el coeficient constant i an és anomenat el coeficient dominant. Quan el coeficient dominant és 1, hom diu que el polinomi és mònic o normalitzat.
Cada sumand del polinomi és anomenat un terme. Un polinomi amb un, dos, o tres termes és anomenat monomi, binomi or trinomi respectivament.
Les funcions polinòmiques de grau 0 són anomenades funcions constants (exclòs el polinomi zero, que és de grau indeterminat), la gràfica és una recta horitzontal; grau 1 són anomenades funcions lineals, la gràfica és una recta (el coeficient principal és la seva pendent); grau 2 són anomenades funcions quadràtiques, la gràfica és una paràbola; grau 3 són anomenades funcions cúbiques, la gràfica és una recta cúbica.
Les funcions polinòmiques no constants (grau major que 0), tendeixen a infinit quan creix o decreix indefinidament. El signe de l'infinit depèn del coeficient principal i del grau del polinomi. A més a més, si el grau es major que 1, la funció no té asímptotes (si és 0 ó 1, la funció té una asímptota: ).
Gràfics Una funció polinòmica d'una variable real pot ser representada mitjançant una gràfica. El gràfic del polinomi zero: f(x) = 0 és l'eix x.
El gràfic d'un polinomi de grau 0:f(x) = a0, on a0 ≠ 0,
és una línia horitzontal que talla l'eix y a a0
El gràfic d'un polinomi de grau 1 (o funció lineal) , on , és una línia obliqua que talla l'eix y a a0 i amb pendent a1.
El gràfic d'un polinomi de grau 2 o major: , on an ≠ 0 i n ≥ 2 és una corba continua no lineal.
La millor manera d'analitzar el gràfic d'una funció polinòmica de grau 2 o major és pel seu comportament als extrems, el nombre de talls amb l'eix x i el nombre de punts màxims i mínims.
Propietats dels polinomis La suma de polinomis és un polinomi El producte de polinomis és un polinomi La derivada d'un polinomi és un polinomi La integral d'un polinomi és un polinomi Els polinomis serveixen per a aproximar altres funcions, com ara les funcions sinus, cosinus i exponencial.
Comportament als extrems Hi ha quatre comportaments als extrems que hi són resultats directes de si an, el coeficient dominant, és positiu o negatiu i de si n, el grau del polinomi, és parell o senar. Si an és positiu i n és parell, l'extrem dret del polinomi és al quadrant I mentre que l'extrem esquerre és al quadrant II. Si an és negatiu i n és parell, l'extrem dret és al quadrant IV mentre que l'extrem esquerre és al quadrant III. Si an és positiu i n és senar, l'extrem dret és al quadrant I mentre que l'extrem esquerre és al quadrant III. si an és negatiu i n és senar, l'extrem dret és al quadrant II mentre que l'extrem esquerre és al quadrant IV.
Nombre de talls a x