miniatura|La girobicúpula quadrada allargada (J37), és un sòlid de Johnson. miniatura|Aquest cub compost de 24 cares quadrades no és un sòlid de Johnson perquè no és estrictament convex (té angles diedres iguals a zero. miniatura|Aquest exemple a 24 triangles no és un sòlid de Johnson perquè és còncau.
En geometria, un sòlid de Johnson és un políedre estrictament convex tal que totes les seves cares són polígons regulars però que no és ni un sòlid platònic, ni un sòlid arquimedià, ni un prisma ni un antiprisma. No cal que cada cara sigui un polígon idèntic, o que els mateixos polígons es trobin al voltant de cada vèrtex. Un exemple de sòlid de Johnson és la piràmide de base quadrada amb costats triangulars equilàters (J1); té una cara quadrada i quatre cares triangulars.
Com que és un sòlid estrictament convex pel capbaix tres cares s'han de trobar a cada vèrtex i la suma dels seus angles ha de ser menor que 360 graus. Ja que tot polígon regular té angles superiors o iguals a 60 graus (cas del triangle equilàter és 60 graus i tots els altres és més), se'n dedueix que cinc cares el màxim que es poden trobar en un vèrtex qualsevol. La piràmide pentagonal (J₂) és un exemple que té un vèrtex de grau 5.
Encara que no existeixi restricció evident perquè un polígon regular qualsevol pugui ser una cara d'un sòlid de Johnson, es troba que les cares dels sòlids de Johnson tenen sempre 3, 4, 5, 6, 8 o 10 costats. És a dir no hi ha cap sòlid de Jonson que tingui una cara que sigui un polígon ni de 7 ni de 9 ni de més de 10 costats.
El 1966, Norman Johnson va publicar una llista que incloïa els 92 sòlids, i els va donar els seus noms i els seus nombres. No va demostrar que no n'existia més que 92, però va conjecturar que no n'hi havia d'altres. Victor Zalgaller el 1969 va demostrar que la llista de Johnson era completa. S'utilitzen els noms i l'ordre donats per Johnson, i se'ls anota Jxx on xx és el nombre donat per Johnson.
Dels sòlids de Johnson, la girobicúpula quadrada allargada (J37) és l'únic que és de vèrtexs uniformes: incideixen quatre cares a cada vèrtex, i el seu arranjament és sempre el mateix: tres quadrats i un triangle.
Noms Els noms es llisten davall i són força descriptius. Molts d'aquests sòlids es poden construir afegint piràmides, cúpules i rotondes sobre cares de sòlids platònics, sòlids arquimedians, de prismes o d'antiprismes.
El prefix Bi- vol dir que s'ajunten base sobre base dues còpies del sòlid en qüestió. Per a les cúpules i les rotondes, es poden ajuntar de forma que les cares es trobin (orto-) o no (giro-). En aquesta nomenclatura, un octàedre s'anomenaria una bipiràmide quadrada, un cuboctaèdre s'anomenaria una girobicúpula hexagonal i un icosidodécaèdre una girobirotonda decagonal.
Allargat vol dir que s'ha ajuntat un prisma a la base del sòlid en qüestió o entre les bases dels sòlids en qüestió. Un rombicuboctàedre s'anomenaria una ortobicúpula octogonal allargada. Giroallargat significa que s'ha ajuntat un antiprisma a la base del sòlid en qüestió o entre les bases dels sòlids en qüestió. Un icosàedre s'anomenaria una bipiràmide pentagonal giroallargada.
Augmentat significa que s'ha ajuntat una piràmide o una cúpula a una cara del sòlid en qüestió. Disminuït significa que s'ha tret una piràmide o una cúpula del sòlid en qüestió.
Gir significa que una cúpula sobre el sòlid en qüestió ha sofert una rotació tal que les diferents arestes coincideixen, com per a la diferència entre orto i giro bicúpules.
Les tres últimes operacions - augment, disminució i gir - es poden executar més d'una vegada sobre un sòlid prou gran. S'afegeix bi- al nom de l'operació per indicar que s'ha executat dues vegades. (Un sòlid bigirat té dues de les seves cúpules que han experimentat una rotació). S'afegeix tri- per indicar que s'ha executat tres vegades. (Un sòlid tridisminuit té tres de les seves piràmides o cúpules eliminades).
A vegades, bi- tot sol no és prou precís. S'ha de distingir entre un sòlid que té dues cares paral·leles alterades i un que té dues cares obliqües alterades. Quan les dues cares alterades són paral·leles, s'afegeix para- al nom de l'operació. (Un sòlid parabiaugmentat té dues cares paral·leles augmentades). Quan no ho són, s'afegeix meta- al nom de l'operació. (Un sòlid metabiaugmentat té dues cares obliqües augmentades).
Llista i noms dels políedres de Johnson A les taules es fan servir les següents abreviatures:
V : nombre de vèrtexs, A : nombre d'arestes, C : nombre total de cares, on: C₃ triangles, C₄ quadrats, C₅ Pentàgons, C₆ hexàgons, C₈ octògons, C10 decàgons.
Prismatoides i rotondes Els poden classificar en: piràmides cúpules rotondes JnNomDesenvolupamentImatgeVACC₃C₄C₅C₆C₈C10Simetria 1 Piràmide quadrada 80px|Desenvolupament de la piràmide quadrada 80px| Piràmide quadrada 5 8 5 4 1 C4v 2 Piràmide pentagonal 80px|Desenvolupament de la piràmide pentagonal 80px|Piràmide pentagonal 6 10 6 5 1 C5v 3 Cúpula triangular 80px|Desenvolupament de la cúpula triangular 80px|Cúpula triangular 9 15 8 4 3 1 C3v 4 Cúpula quadrada 80px|Desenvolupament de la cúpula quadrada 80px|Cúpula quadrada 12 20 10 4 5 1 C4v 5 Cúpula pentagonal 80px|Desenvolupament de la cúpula pentagonal 80px|Cúpula pentagonal 15 25 12 5 5 1 1 C5v 6 Rotonda pentagonal 80px|Desenvolupament de la rotonda pentagonal 80px|Rotonda pentagonal 20 35 17 10 6 1 C5v
Piràmides modificades i bipiràmides Es poden classificar en: piràmides allargades piràmide giroallargades bipiràmides bipiràmides allargades bipiràmides giroallargades
JnNomDesenvolupamentImatgeVACC₃C₄C₅C₆C₈C10Simetria 7 Piràmide triangular allargada 80px|Desenvolupament de la piràmide triangular allargada 80px|Piràmide triangular allargada 7 12 7 4 3 C3v 8 Piràmide quadrada allargadao (cub augmentat)o (prisma quadrat augmentat) 80px|Desenvolupament de la piràmide quadrada allargada 80px|Piràmide quadrada allargada 9 16 9 4 5 C4v 9 Piràmide pentagonal allargada 80px|Desenvolupament de la piràmide pentagonal allargada 80px|Piràmide pentagonal allargada 11 20 11 5 5 1 C5v 10 Piràmide quadrada giroallargada 80px|Desenvolupament de la piràmide quadrada giroallargada 80px|Piràmide quadrada giroallargada 9 20 13 12 1 C4v 11 Piràmide pentagonal giroallargadao (icosàedre disminuït) 80px|Desenvolupament de la piràmide pentagonal giroallargada 80px|Piràmide pentagonal giroallargada 11 25 16 15 1 C5v 12 Bipiràmide triangular 80px|Desenvolupament de la bipiràmide triangular 80px|Bipiràmide triangular 5 9 6 6 D3h 13 Bipiràmide pentagonal 80px|Desenvolupament de la bipiràmide pentagonal 80px|Bipiràmide pentagonal 7 15 10 10 D5h 14 Bipiràmide triangular allargada 80px|Desenvolupament de la bipiràmide triangular allargada 80px|Bipiràmide triangular allargada 8 15 9 6 3 D3h 15 Bipiràmide quadrada allargadao (biaugmentat cub)o (biaugmentat prisma quadrat) 80px|Desenvolupament de la bipiràmide quadrada allargada 80px|Bipiràmide quadrada allargada 10 20 12 8 4 D4h 16 Bipiràmide pentagonal allargada 80px|Desenvolupament de la bipiràmide pentagonal allargada 80px|Bipiràmide pentagonal allargada 12 25 15 10 5 D5h 17 Bipiràmide quadrada giroallargada 80px|Desenvolupament de la bipiràmide quadrada giroallargada 80px|Bipiràmide quadrada giroallargada 10 24 16 16 D4d
Cúpules i rotondes modificades Es poden classificar en: cúpules allargades rotondes allargades birotondes allargades coupolo-rotondes allargades bicúpules allargades cúpules giroallargades rotondes giroallargades bicúpules birotondes coupulo-rotondes bicúpules giroallargades birotondes giroallargades coupolo-rotondes giroallargades