miniatura|Pierre de Fermat, matemàtic En matemàtiques, el teorema dels dos quadrats de Fermat enuncia les condicions perquè un nombre enter sigui la suma de dos quadrats d'enters, i precisa de quantes maneres diferents ho pot ser. Per exemple, segons aquest teorema, un nombre primer senar és la suma de dos quadrats d'enters si i només si el residu de la seva divisió euclidiana entre 4 és 1; en aquest cas, els quadrats queden determinats de manera única. Es pot verificar sobre 17 (= 4 × 4 + 1) o 97 (= 4 × 24 + 1), que tots dos es poden expressar d'una única manera com una suma de dos quadrats (17 = 1² + 4² i 97 = 9² + 4²); també, que nombres primers, com 7 (= 4 × 1 + 3) o 31 (= 4 × 7 + 3), no es poden pas expressar com a suma de dos quadrats. Aquest resultat de vegades s'anomena simplement teorema dels dos quadrats o també teorema de Fermat de Nadal.

S'inscriu en la llarga història de la representació de nombres com a suma de quadrats que es remunta a l'antiguitat. Fou expressat de forma explícita per Pierre de Fermat (1601-1665) al , però la primera prova publicada coneguda és l'obra de Leonhard Euler, un segle més tard. La seva demostració no tanca pas els interrogants. En el transcurs dels segles posteriors es proposaren noves proves i diverses generalitzacions. Aquestes contribucions han tingut un paper important en el desenvolupament de la branca de les matemàtiques anomenada teoria algebraica dels nombres.

A semblança de moltes equacions diofàntiques, és a dir, d'equacions en les quals els coeficients i les solucions buscades són nombres enters o racionals, la simplicitat de l'enunciat amaga una dificultat real en la seva demostració. Algunes de les proves proposades han ajudat a la posada a punt d'eines de vegades sofisticades, com les corbes el·líptiques o la geometria dels nombres, relacionant així la teoria dels nombres elemental amb altres branques de les matemàtiques.

Presentació del teorema El cas dels nombres primers Certs nombres primers són suma de dos quadrats d'enters. És clar el cas de 2 (=1² + 1²), igualment, 5 és la suma d'1 i de 4. Altres com 3 o 7 no verifiquen aquesta propietat. Una prova sistemàtica fins a 40 dona que:

En canvi, 3, 7, 11, 19, 23 i 31 no es poden descompondre d'aquesta manera. El teorema dona un criteri general que permet discriminar aquestes dues situacions:

Dir que p és congruent amb 1 mòdul 4 significa simplement que el residu de la divisió euclidiana de p entre 4 és 1, o també que el nombre p és de la forma 4k+1 per a un enter k. Aquest vocabulari s'explica a l'article Congruència sobre els enters.

El cas general Si es comença escrivint els enters positius inferiors o iguals a 50 sobre quatre línies, en funció del residu de la seva divisió entre quatre, s'obté:

Els enters escrits en verd designen els que s'escriuen en forma de dos quadrats perfectes, els altres s'han escrit en vermell. Es comprova que la quarta línia no conté cap solució. Ara bé el producte d'un nombre parell de factors de la forma 4k+3 és de la forma 4k+1, per tant aquesta última línia no conté més que nombres que tenen un nombre senar de factors primers de la forma 4k+3. Això dona una pista per comprendre la situació general.

El cas d'un nombre n qualsevol depèn dels seus factors primers. Es té:

Així, 30 no és suma de quadrats, ja que 30 = 2.3.5, 3 intervé amb un exponent 1 en la seva factorització en factors primers. En canvi, 45 = 3².5 és suma de quadrats, ja que 3 intervé a la potència 2 (es troba que 45 = 6² + 3²).

La qüestió del nombre de parelles de quadrats la suma dels quals és igual a un enter n donat, és més difícil, aquest nombre depèn dels exponents dels factors de n de la forma 4k+1. Escrivint , on n no és divisible més que per 2 i factors primers de la forma 4k+3, i on els diferents pi són els factors primers de la forma 4k+1, llavors n té 1/2(a+1)(b+1)(c+1)... descomposicions diferents en suma de dos quadrats si un almenys dels exponents a, b, c... és senar i 1/2(a+1)(b+1)(c+1).-1/2 descomposicions si tots els exponents són parells.

Una altra expressió equivalent d'aquest nombre de descomposicions la va donar Charles Gustave Jacob Jacobi (1804-1851):

Es compten totes les representacions, fins i tot les que no difereixen més que pel signe o l'ordre. Per exemple, admet 8 representacions com a suma de dos quadrats.Aquest enunciat i una demostració Es troben a Introducció a la teoria dels nombres de Hardy & Wright, teorema 278. Un últim aspecte important és la construcció explícita dels quadrats la suma dels quals és igual a un enter n donat.

Història Època antiga: primers resultats miniatura|Edició de 1670 de les aritmètiques de Diofant d'Alexandria. L'interès per les sumes de quadrats es remunta a l'antiguitat: es troben sumes d'aquest tipus en tauletes cuneïforme del començament del segon mil·lenni abans de la nostra era i dos lemes afegits al teorema X. 28 en els Elements d'Euclides expliquen com construir quadrats perfectes que siguin la suma o la diferència de quadrats perfectes, o al contrari com no obtenir un quadrat sumant dos quadrats.Euclides. Les Éléments, comentaris i notes de Bernard Vitrac, vol. 3, Llibre X, p. 171-176.

Però és en la tradició diofàntica que es troben rastres més precisos sobre els nombres suma de quadrats. les Arithmetica,Diofant d'Alexandria. Les six livres arithmétiques, trad. P. Ver Ecke, París: Albert Blanchard, 2000. . La numeració dels problemes varia d'una edició a l'altre i, en aquest cas, s'utilitza aquí la d'aquesta edició. Originàriament, aquests sis llibres, els únics coneguts fins a l'actualitat, formen part d'un conjunt més vast de 13 llibres. Cap el 1970, han estat trobats quatre llibres més en una versió àrab.Vegeu Diofant. Les Aritmètiques. París: Les Belles Lettres, 1984, 2 volums. escrits en una data incerta, contenen problemes les solucions dels quals són racionals o enters. Un gran nombre d'ells es refereix als nombres quadrats o cúbics (en aquest cas dels quadrats o dels cubs de nombres racionals). A títol d'exemples, el problema 11 del llibre II és el següent: «Afegir un mateix nombre a dos nombres donats de manera que cadascun forma un quadrat», o encara el problema 22 del llibre IV: «Trobar tres nombres tals que el nombre sòlid procedent d'aquests nombres [en altres paraules, el producte d'aquests tres nombres], augmentat de cadascun, formi un quadrat».Aquesta traducció és la de P. Ver Ecke, citada abans. Per resoldre totes aquestes qüestions, Diofant introdueix una «quantitat indeterminada d'unitats» que anomena «arithme» i expressa en funció d'ella totes les dades del problema (és doncs un avantpassat de la noció d'incògnita en àlgebra). Aconsegueix així trobar una solució numèrica particular, per exemple per al problema II.11 la solució 97/64 si els nombres donats són 2 i 3, i per al problema IV.22, la solució 1, 34/6 i (2.1/2)/6.

Diverses mencions referents a la determinació dels nombres suma de dos quadrats apareixen de manera dispersa en diversos problemes. Per exemple, Diofant anota sense explicació que 15 no pot ser la suma de dos quadrats de nombres racionals enmig de la solució del problema VI.14. Al llibre III, afirma que el nombre 65 és una suma de dos quadrats de dues maneres diferents, ja que és el producte de 5 i 13, ells mateixos sumes de dos quadrats.André Weil. Number Theory: An Approach through History, from Hammurapi to Legendre. capítol. I, § 6. Boston: Birkhäuser, 1984. Un altre problema fa referència al fet de «partir la unitat en dues parts i afegir a cadascun dels fragments un nombre donat, per tal de formar un quadrat». Això significa buscar una expressió de: són quadrats de nombres racionals. Aquí: Això significa buscar 2c + 1 com a suma de dos quadrats. Diofant diu explícitament que c ha de ser parell, en altres paraules que la divisió de 2c + 1 entre 4 dona de residu 1.Diofant afegeix una altra condició, però malauradament el text que ha sobreviscut està corromput i poc clar; nombroses interpretacions han estat proposades i atribueixen a Diofant una comprensió més o menys completa de les condicions perquè un nombre sigui suma de quadrats. Vegeu, per exemple: Leonard Eugene Dickson. History of the Theory of Numbers, volum 2, pàg. 225 Ver Ecke, en el comentari de les Arithmétiques de Diofant, op. cit., pàg. 197.

Certs matemàtics lectors de Diofant estudiaren de manera més sistemàtica i més aritmètica els nombres suma de quadrats, en particular la tradició en llengua àrab d'al-Khazin, al-Sizji, al-Samaw’al.R. Rashed. "Analyse combinatoire, analyse numérique, analyse diophantienne et théorie des nombres". A Histoire des sciences arabes, vol. 2, París: Seuil, 1997, pàg. 80-85. La seva perspectiva combina, sobre els problemes diofàntics que s'hi presten, tècniques inspirades de l'àlgebra naixent i un punt de vista euclidià, en particular un enfocament sobre els nombres enters i de les proves generals. Per exemple, ensenyen que una suma senar de dos quadrats primers entre ells és de la forma 12k+5 o 12k+1. Un context important és l'estudi dels triangles rectangulars en nombres, o ternes pitagòriques, és a dir dels nombres que verifiquen a² + b² = c²: en efecte, si els costats a, b, c són primers entre ells, c mateix s'escriu com una suma de quadrats.

Segle XVII: Els enunciats miniatura|esquerra|Marin Mersenne, estableix un contacte epistolar sòlid entre Pierre Fermat i els seus contemporanis.

És en relació directa amb les edicions i comentaris de les Aritmètiques de Diofant que es troba al una exploració més sistemàtica, després arriben els primers enunciats complets d'aquest teorema.

Albert Girard acaba així la traducció de Simon Stevin dels llibres de Diofant i a les seves anotacions, el 1634, anuncia que els nombres que es poden expressar com a suma de dos quadrats són «els quadrats, els nombres primers de la forma 4k+1, els productes de nombres d'aquestes dues formes i el doble de cadascun dels nombres obtinguts», és a dir un enunciat equivalent a l'enunciat general donat més amunt., vol. 2, pàg. 227; Edouard Lucas, Recherches sur l'analyse indéterminée et l'arithmétique de Diophante Bulletin de la Société d'émulation de l'Allier, 1873 Llegiu-lo a Gallica. Però no presenta cap demostració.

És més o menys a la mateixa data que Marin Mersenne (1588-1648) estableix a París una acadèmia de matemàtiques comunicant els resultats dels diferents treballs, i recolzada sobre una important xarxa de corresponsals a través de tot Europa. Hi participen dels noms següents més o menys cèlebres com Étienne i Blaise Pascal (1623 1662), René Descartes, Bernard Frenicle de Bessy (1605 1675), Gilles Personne de Roberval o també Pierre de Carcavi, bibliotecari del Rei. Aquesta correspondència és una de les dues principals fonts per als treballs aritmètics de Pierre Fermat, l'altre és els seus propis comentaris a l'edició de Diofant que ha donat Claude-Gaspard Bachet de Méziriac en 1621.Diofant. Arithmetica, edició grega i traducció en llatí comentada de Claude-Gaspard Bachet de Méziriac, París 1621 En els seus treballs de teoria dels nombres, Bachet s'inscriu en la tradició de l'anàlisi diofàntic enter, dona nous exemples numèrics en enters, i sobretot les demostracions a la moda euclidiana de nombroses propositions.En la segona edició del seu llibre, Problèmes plaisans et délectables, qui se font par les nombres, partie recueillis de divers auteurs, et inventez de nouveau, avec leur démonstration, par Claude Gaspar Bachet, Sr. de Méziriac. Très utiles pour toutes sortes de personnes curieuses qui se servent d'arithmétique (1624), Bachet dona també la primera prova del que es coneix actualement com identitat de Bezout En particular demostra que el producte de dues sumes de dos quadrats és una suma de dos quadrats, de dues maneres différentes;Aquesta identitat s'anomena sovint identitat de Brahmagupta ja que s'ha trobat també d'una manera lleugerament diferent en els escrits d'un autor indi del segle VII més precisament, en notació algebraica actual: