Un nombre (també número, segons l'AVL) és el concepte que sorgeix del resultat de comptar les coses que formen un agregat, o una generalització d'aquest concepte. Aquesta és la definició que li dona el diccionari normatiu de l'Institut d'Estudis Catalans.DIEC: Nombre En aquesta definició queden clarament inclosos tots els tipus de nombres que tracten les matemàtiques, perquè tots són generalitzacions del concepte dels nombres que es fan servir per a comptar, és a dir, els nombres naturals.
Totes les llengües no donen pas exactament el mateix sentit a la traducció de la paraula catalana nombre: En anglès, segons el diccionari Oxford,Compact Oxford English dictionary: "Number" number és una idea, un símbol o una paraula que indiquen una quantitat d'unitats. En castellà, segons el diccionari de la Reial Acadèmia de la Llengua Espanyola,RAE: "Número" la paraula número significa l'expressió de la quantitat computada amb relació a una unitat. Aquesta definició fa difícil d'incloure dins el seu significat tipus de nombres com els nombres complexos o els nombres hiperreals. A més, en castellà número significa també el signe o conjunt de signes que representen el nombre. En alemany, l'equivalent a la paraula nombre es diu Zahl. Per a expressar el nombre d'elements d'un conjunt finit, s'empra el mot Anzahl. El concepte de número es tradueix amb Nummer i la xifra es tradueix amb Ziffer.
Els nombres es fan servir per a codificar o identificar, ordenar, comptar i per mesurar. Els signes que serveixen per a representar els nombres en un sistema de numeració es diuen xifres, però habitualment la paraula nombre es fa servir tant per a designar el concepte com el signe. En matemàtiques, el concepte de nombre s'ha anat generalitzant i abasta nombres tals com el 0, els nombres negatius, els nombres racionals, els nombres irracionals, i els nombres complexos.
Una regla que permet obtenir un nombre d'un conjunt a partir d'un parell de nombres del mateix conjunt es diu operació. Exemples d'operacions són la suma, la resta, la multiplicació, la divisió i la potència.
La ciència que estudia els nombres és l'aritmètica. Els nombres varen sorgir en la prehistòria, amb la necessitat de comptar, sobretot per motius econòmics, els objectes i pertinences. Això no obstant, hi ha cultures que no han desenvolupat un sistema de numeració, i que tenen únicament els conceptes d'un, dos (o plural) i molts.
Nocions a distingir Xifra
Una xifra és qualsevol dels signes que serveixen per a representar els nombres en un sistema de numeració.DIEC: "xifra" Un error molt freqüent és el de confondre la xifra amb el nombre. Les xifres emprades per a escriure els nombres en base deu són: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. En el sistema de numeració romana, les xifres són: {I, V, X, L, C, D, M}
Nombre El concepte que sorgeix del resultat de comptar i les seves generalitzacions. El nombre és el concepte abstracte, no és ni la xifra ni la combinació de xifres ni la quantitat d'objectes concrets que representen sinó el que representen en sentit abstracte.
Número Un número és simplement una combinació de xifres, que no té per què respectar pas una enumeració, i que juga el rol d'una etiqueta numèrica.DIEC:"número" Exemple: Visc al número 293 del carrer…
Definicions de nombre Diversos pensadors han definit el concepte de nombre de diverses formes.
Pompeu Fabra dona la definició que emprem avui en dia:
Altres definicions de nombre fetes per diferents pensadors són:
Nombre és l'essència i el principi de totes les coses (Pitàgores).The Historical Roots of Elementary Mathematics Pàgina 82Pytagorean sources and fragments Hippol., Phil,. 2. Dox. 355 Nombre és la proporció abstracta entre una quantitat i una altra quantitat de la mateixa espècie (Isaac Newton).The philosofy of arithmetic Capítol II Nombre és un compost d'unitats de la mateixa espècie (Euclides)The philosofy of arithmetic (73) Nombre és el resultat de la mesura d'una grandària (Brennes). Nombre és una col·lecció d'objectes de la naturalesa dels quals fem abstracció (Boutroux). Nombre és el resultat de la comparació de qualsevol grandària amb la unitat (Benjamin Constant). Nombre és una col·lecció d'unitats (Tales de Milet).A History of Greek Mathematics, Sir Thomas Heath, Pàgina 69 Nombre és una progressió de molts començant per la unitat i una regressió acabant en aquesta (definició donada per Moderatus, filòsof neopitagòric).HistoryfGrekMath Nombre és una multitud determinada (Èudox de Cnidos). Nombre és un flux de quantitat fet d'unitats (Nicomac de Gerasa). Nombre es percep per la negació de la continuïtat (Aristòtil).The Ontology of Time, Alexei Chernyakov, Pàgina 55 (Entre moltes altres definicions.) Nombre és la representació de la pluralitat (Kambly). Nombre és una col·lecció d'unitats (Condorcet). Nombre és la pluralitat mesurada per la unitat (Schuller, Natucci). Nombre és una expressió que determina una quantitat de coses de la mateixa espècie (Baltzer). Nombre és la classe de totes les classes equivalents a una classe donada (Bertrand Russell).The world of Matehmatics. Editap per James Newmann, Part III Aritmètica nombres i l'art de contar. Definió de nombre per Bertrand Russell Pàgina 542.
Tipus de nombres Els nombres es poden classificar en conjunts, anomenats tipus de nombres (pels diferents mètodes d'expressar els nombres mitjançant símbols, tals com els nombres romans, vegeu sistema de numeració). Els diferents tipus de nombres es poden introduir per dos mètodes diferents: axiomàtic i constructivista.
El mètode axiomàtic consisteix a adoptar un conjunt d'axiomes. A partir d'aquests axiomes, per deducció lògica, es demostren els teoremes. Aquest plantejament se centra a estudiar les conseqüències d'un conjunt que compleixi els axiomes, però no li busca cap significat a aquest conjunt, no es preocupa que existeixi cap conjunt que compleixi els axiomes. De fet, si hi ha molts conjunts diferents que els compleixen tots, els teoremes que s'hagin demostrat hi seran vàlids per a tots.
El mètode constructivista introdueix els diferents tipus de nombres mitjançant la construcció d'un conjunt d'elements.
Resum Els nombres més intuïtius són els nombres naturals 0, 1, 2… que es fan servir per a comptar objectes. Si s'afegeixen nombres negatius, s'obtenen els enters. Els quocients d'enters generen els nombres racionals. Si s'hi inclouen tots els nombres que són expressables amb decimals, però que no són fraccions d'enters, s'obtenen els nombres reals; si a aquests se'ls afegeix el producte d'un real per l'arrel de -1 s'obtenen els nombres complexos, que són tots els nombres necessaris per a resoldre qualsevol equació algebraica. Es poden ampliar encara més els nombres, si s'afegeixen els infinits i els transfinits.
Entre els nombres reals, n'hi ha que no són solucions d'una equació polinomial o algebraica. Reben el nom de transcendents. L'exemple més famós d'aquests nombres és el nombre π (pi), un altre exemple fonamental i igual d'important és el nombre e, base dels logaritmes naturals o neperians. Aquests dos nombres estan relacionats entre ells per la identitat d'Euler: , també anomenada la fórmula més important del món, ja que relaciona la unitat amb -possiblement- els tres nombres més coneguts i útils en el món de les matemàtiques: el nombre i (), el nombre e (2,71828183…), el nombre π (3,14159265…).
Exemples dels diferents tipus de nombres: NOM SÍMBOL EXEMPLES NATURALS 1, 2, 3, 4… ENTERS 1, -1, 2, -2, 3, -3… RACIONALS 1, 1/2, 4/3, -1/4… IRRACIONALS nombre e, nombre pi, REALS 1, -1, 1/2, COMPLEXOS on
Nombres naturals
miniatura|Nombres naturals Un nombre natural és el que indica la quantitat d'elements de qualsevol conjunt finit. Els nombres naturals serveixen per a comptar i són el 0, 1, 2, 3… Alguns autors no consideren la quantitat d'elements del conjunt buit (el zero) com un dels elements del conjunt dels nombres naturals, llavors són 1, 2, 3…
En el sistema de numeració en base deu, els símbols per a escriure els nombres naturals empren deu xifres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. En aquest sistema de numeració en base deu, el dígit de més a la dreta indica les unitats, el següent les desenes, el següent les centenes i així successivament; cada dígit representa la quantitat, de vegades el valor de la seva posició i aquest valor és deu cops més gran que el valor de la posició del dígit de la seva dreta.
Aquest sistema de numeració va ser introduït a Catalunya per la influència dels musulmans d'al-Àndalus i des d'aquí es va divulgar per primer cop a la resta d'Europa occidental pel papa Silvestre II al voltant de l'any 1000. L'havia après a Santa Maria de Ripoll, on va estudiar sota la protecció del comte Borrell II de Barcelona.
El símbol que representa el conjunt de tots els nombres naturals és N, també s'escriu com a .
L'axiomatització dels nombres naturals la va fer per primer cop en Giuseppe Peano (vegeu els axiomes de Peano). Per a fer-ho, fa servir la funció simbolitzada per S (abreviatura de successor) i els axiomes són: Existeix un nombre natural 0. Cada nombre natural a té un successor que es diu Sa. No hi ha cap nombre natural que tingui com a successor el 0. Si dos nombres naturals són diferents, llavors tenen successors diferents: si . Si el nombre 0 té una propietat i per cada nombre que tingui aquesta propietat també la té el seu successor, llavors tots els nombres naturals tenen aquesta propietat.
Nombres enters
El conjunt dels nombres enters es construeix estenent els nombres naturals a base d'afegir-los-hi els nombres negatius.
Els nombres negatius es construeixen a base de fer que l'operació de restar tingui sempre un resultat.
Si cada nombre natural representa la quantitat d'elements d'un conjunt, es defineix la suma de dos nombres i com el nombre (), tal que representa la quantitat d'elements del conjunt unió dels altres dos.
La resta es defineix com l'operació inversa de la suma, així si llavors i .
El conjunt dels nombres naturals es diu que és tancat respecte de la suma, perquè per a qualsevol parella de nombres naturals, el resultat de la seva suma és també un nombre natural.
Ara bé, resulta que el conjunt de nombres naturals no és tancat respecte de la resta perquè, per exemple, no existeix cap nombre natural que sumat a 1 doni zero, per tant 0-1 no té cap resultat dins del conjunt dels nombres naturals.
El nombre negatiu -n (oposat de n) es defineix com el nombre que sumat a n dona zero.
Els nombres negatius es poden interpretar com la quantitat d'elements, de conjunts amb elements especials, que en unir-se amb els conjunts que tenen elements normals, es neutralitzen o cancel·len o anul·len. Per exemple, una quantitat negativa de diners es pot emprar per a representar un deute de tal manera que en unir-se amb la mateixa quantitat però positiva es cancel·la el deute. La càrrega elèctrica d'un determinat nombre de partícules es pot representar amb un nombre negatiu de tal manera que en reunir-se amb un nombre igual de partícules que tenen la mateixa quantitat de càrrega però oposada es cancel·len mútuament i en resulta una matèria elèctricament neutra.
Els nombres negatius s'escriuen afegint un signe menys davant del nombre del qual en són oposats. Així, l'oposat del 7 s'escriu −7. Quant el conjunt de nombres negatius s'uneix amb el conjunt dels nombres naturals (inclòs el zero), s'obté el conjunt dels nombres enters Z (De l'alemany Zahl, plural Zahlen, que vol dir 'nombre'), també s'escriu com a .
Nombres racionals
Un nombre racional és el que es pot expressar com una raó entre dos nombres enters. És a dir, el quocient d'una quantitat (dita antecedent) dividida per una altra quantitat (dita conseqüent) que no pot ser zero.
Una raó es pot escriure com una fracció amb un numerador enter i un denominador natural diferent de zero.
La fracció m/n o