miniatura|Figura 1: Un nombre complex pot representar-se visualment com un parell de nombres formant un vector en un diagrama anomenat pla d'Argand.
En matemàtiques, un nombre complex és un nombre, , que es pot expressar en la forma , on i són nombres reals, i és la unitat imaginària, que satisfà la propietat fonamental . En l'expressió donada, s'anomea la part real del nombre complex, , i la part imaginària,
El conjunt dels nombres complexos es representa per C, o per . Com que cada nombre complex ve determinat per les seves parts real i imaginària, geomètricament es pot identificar C amb els punts d'un pla, el pla complex, o pla d'Argand. En aquest pla, l'eix d'abscisses correspon als complexos amb part imaginària nul·la, que es poden identificar amb els nombres reals; així, el pla complex conté la recta numèrica. En el mateix pla, l'eix d'ordenades correspon als complexos amb part real nul·la, anomenats imaginaris purs; són els complexos de la forma , amb real.
A banda de la seva importància en àlgebra, els nombres complexos són una eina fonamental en pràcticament totes les branques de les matemàtiques. Igual com amb funcions de variable real, es pot fer anàlisi matemàtica amb funcions de variable complexa; la teoria corresponent s'anomena anàlisi complexa, i té característiques que la fan molt diferent de l'anàlisi real.
Més enllà de les matemàtiques, els nombres complexos tenen aplicacions en la major part de les ciències i la tecnologia. Moltes d'aquestes aplicacions són simplement una conseqüència dels avantatges de treballar amb nombres complexos en lloc de reals, però en alguns camps específics, com ara la mecànica quàntica o la teoria quàntica de camps, l'ús de la variable complexa en la descripció de les entitats físiques és essencial.
Sumari Motivació Els nombres complexos permeten obtenir solucions per algunes equacions que no tenen solució en els nombres reals. Per exemple, l'equació , no té solució real, ja que el quadrat d'un nombre real no pot ser negatiu. Els nombres complexos aporten una solució aquesta equació utilitzant la unitat imaginaria , que satisfà la propietat . Aleshores, podem provar que tant i són solucions de l'equació anterior
, . Segons el teorema fonamental de l'àlgebra, qualsevol equació polinòmica amb coeficients reals o complexos en una sola variable té solució en els nombres complexos.
Definició Un nombre complex és un nombre que es pot expressar en la forma , on i són nombres reals, i és la unitat imaginària, que satisfà la propietat fonamental . Per exemple el nombre és un nombre complex. En l'expressió donada, s'anomena la part real del nombre complex i la part imaginaria i es nota com , . Per exemple, en l'exemple anterior, les parts real i imaginaries correspondrien a , . Per tant, en termes de la seva part real i imaginària un nombre complex es pot escriure com . Aquesta notació es coneix habitualment com a notació cartesiana.
Un nombre real pot ser considerat com un nombre complex de la forma amb part imaginària nul·la. Un nombre complex és anomenat nombre imaginari si és de la forma amb part real nul·la.
El conjunt dels nombres complexos es representa per C, o per .
Pla complex o Diagrama d'Argand
Per a visualitzar geomètricament els nombres complexos es poden representar en un pla com un punt o un vector. Habitualment es representen gràficament utilitzant la part real com la component horitzontal i la part imaginària com a component vertical (vegeu Figura 1). Aquest pla s'anomena pla complex o diagrama d'Argand anomenat així per Jean-Robert Argand.
Per tant, tenim una bijecció que identifica el nombre amb el vector . D'aquesta manera podem visualitzar el conjunt dels nombres complexos com un pla.
El concepte de pla complex permet interpretar geomètricament els nombres complexos. La suma de nombres complexos es pot relacionar amb la suma amb vectors, i la multiplicació de nombres complexos pot expressar-se simplement utilitzant coordenades polars, on la magnitud del producte es el producte de les magnituds dels termes, i l'angle comptat des de l'eix real del producte és la suma dels angles dels termes.
Els diagrames d'Argand s'utilitzen freqüentment per a mostrar les posicions dels pols i els zeros d'una funció en el pla complex.
Notació Els nombres complexos es poden representar de dues maneres, com a suma de les components real i imaginària (representació cartesiana), o bé com a mòdul amb angle (representació polar).
Notació cartesiana En la seva representació cartesiana, un complex pren la forma on és la component real, i és la component imaginària. Per exemple: ,, o són nombres complexos.
Aquesta notació es pot representar gràficament en el pla complex identificant el nombre complex amb el vector , (vegeu Figura 1).
Notació polar Un nombre complex es pot representar també en forma polar, això és: , on és el mòdul del nombre complex, i és l'angle del complex, interpretant el nombre en el diagrama d'Argand.
Però, és necessari destacar, que la notació polar habitual segueix la fórmula d'Euler on es representa com on .
Equivalències entre notació cartesiana i notació polar miniatura|esquerra|Figura 2: Nombre complex Per passar d'un tipus de notació a una altra s'utilitzen les següents expressions:
Pas de cartesiana a polar (part real no negativa):
A partir del Teorema de Pitàgores (i entenent el nombre complex com un vector amb dues coordenades, (a, b)), podem dir:
I sabent que el quocient entre el catet oposat i el catet contigu d'un angle és la tangent d'aquest angle, tenim:
L'arctangent retorna angles entre −π i π, per tant per a complexos amb part real positiva l'angle es calcula com:
Si el complex té part real negativa es transforma en un complex de part real positiva prenent −1 = 1π com a factor comú. . L'angle s'obté com:
Pas de polar a cartesiana
Operacions Les operacions amb nombres complexos demanaran una notació cartesiana o polar, depenent de l'operació que es faci. Per això, és important saber passar d'un tipus de notació a una altra per poder operar amb nombres complexos.
Suma i resta Per sumar dos nombres complexos s'ha d'utilitzar la notació cartesiana.
Notació cartesiana:
Es sumen les components reals dels sumands i les components imaginàries per separat:
Exemple:
Per restar es fa de manera semblant:
Exemple:
Multiplicació Per multiplicar dos nombres complexos es pot utilitzar qualsevol de les dues notacions:
Notació cartesiana:
Com que i agrupant els sumands resulta que:
Exemple:
Notació polar
Exemple:
Demostració Passant de notació cartesiana a polar s'obté:
Operant resulta:
Que tenint en compte les identitats trigonomètriques del sinus i el cosinus de la suma d'angles i tornant a passar a notació polar s'obté:
Divisió Per dividir dos nombres complexos s'utilitza normalment la notació polar, per ser la forma més fàcil. Tot i així també es pot operar amb la notació cartesiana.
Notació polar
Com que per multiplicar es multipliquen els mòduls i se sumen els angles, per trobar un nombre que multiplicat pel divisor doni el dividend (és a dir per a dividir el dividend entre el divisor i trobar el quocient) caldrà trobar un nombre que multiplicat pel mòdul del divisor doni el mòdul del dividend (és a dir caldrà dividir el mòdul del dividend entre el mòdul del divisor) i caldrà trobar un argument que sumat a l'argument del divisor doni l'argument del dividend (és a dir caldrà restar de l'argument del dividend l'argument del divisor).
Exemple:
Notació cartesiana
En notació cartesiana, multiplicant el numerador i el denominador pel conjugat del denominador queda en el denominador un nombre real que es pot dividir per separat de la part real i de la part imaginària.
Potència El quadrat d'un nombre complex és tal com segueix:
En notació cartesiana, cal emprar el Binomi de Newton; en concret, el quadrat (en potència de 2) és:
Aquest procediment és feixuc i llarg (especialment en potències de graus superiors a 2 o 3). En canvi, en notació polar és força més senzill:
En notació polar i generalitzant (on n=exponent):
Arrels L'arrel quadrada de a + bi (amb b ≠ 0) és , on
i
Conjugat miniatura|Representació geomètrica de i el seu conjugat al pla complex El conjugat complex del nombre complex z = x + yi es defineix com a x − yi. Es denota com o . Geomètricament, és la reflexió de z sobre l'eix real. En particular, si conjuguem dos cops el nombre complex original: .
Les parts reals i imaginàries d'un nombre complex poden ser extretes usant el conjugat:
A més, un nombre complex és real si, i només si, el seu conjugat és igual a ell.
La conjugació compleix la propietat distributiva sobre les operacions aritmètiques estàndard:
si w és no nul L'invers d'un nombre complex diferent de zero z = x + yi és donat per:
Aquesta fórmula es pot fer servir per calcular l'invers d'un nombre complex si ve donat en notació cartesiana.
Caracteritzacions i representacions dels nombres complexos Tot i que normalment no són útils, les representacions alternatives dels nombres complexos poden donar una visió una mica més profunda sobre la seva naturalesa.
Representació matricial dels nombres complexos Una representació particularment elegant, representa els nombres complexos com a matrius 2×2 amb coeficients reals que corresponen a aplicacions que dilaten i giren els punts del pla. Cada una d'aquestes matrius té la forma
on a i b són nombres real. La suma i el producte de dues matrius d'aquest tipus és una matriu que també té la mateixa forma, i l'operació producte de matrius d'aquesta forma és commutatiu (fixeu-vos que el producte de matrius en general no ho és). Tota matriu d'aquesta forma diferent de zero és invertible, i la seva inversa és també de la mateixa forma. Per tant, les matrius d'aquesta forma són un cos isomorf al cos dels nombres complexos. Cada una d'aquestes matrius es pot escriure com
El que suggereix que s'hauria d'identificar el nombre real 1 amb la matriu identitat
I la unitat imaginària i amb
Una rotació en sentit contrari a les agulles del rellotge de 90 graus. Fixeu-vos que el quadrat d'aquesta última matriu és igual a la matriu 2×2 que representa −1.
El quadrat del valor absolut d'un nombre complex expressat com una matriu és igual al determinant de la matriu.
Si la matriu es veu com una transformació del pla, llavors la transformació gira els punts un angle igual a l'argument del nombre complex i li aplica un factor d'escala igual al valor absolut del nombre complex. El conjugat del nombre complex z correspon a la transformació que gira el mateix angle que z però en sentit oposat i aplica el mateix factor d'escala que z; això es pot representar per la transposada de la matriu corresponent a z.
Si els elements de les matrius són ells mateixos nombres complexos, llavors l'àlgebra que resulta és la dels quaternions. En altres paraules, la representació matricial és una forma d'expressar la construcció de Cayley-Dickson d'àlgebres.
També s'ha de destacar que els dos vectors propis de la matriu 2x2 que representa un nombre complex són el mateix nombre complex i el seu conjugat.
Mentre que l'anterior és una representació de C en les matrius reals (2 x 2), no és l'única. Qualsevol matriu
té la propietat que el seu quadrat és la matriu identitat multiplicada per -1. Llavors també és isomorf al cos C.
Espai vectorial real C és un espai vectorial real de dimensió dos. A diferència dels reals, el conjunt dels nombres complexos no pot ser totalment ordenat de cap manera que sigui compatible amb les seves operacions aritmètiques: C no es pot transformar en un cos ordenat. De forma més general, cap cos que contingui una arrel quadrada de −1 pot ser ordenat.
Les aplicacions lineals C → C tenen la forma general