En l'àlgebra abstracta, l'àlgebra commutativa és el camp d'estudi dels anells commutatiu, els seus ideals, els seus mòduls i les seves àlgebres. És una matèria fondacional tant per a la geometria algebraica com per a la teoria de nombres algebraics.Ernst Kunz, "Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry", Birkhauser 1985, ISBN 0-8176-3065-1 Entre els exemples destacats d'anells commutatius hi ha els anells polinòmics; els anells de nombre enters algebraics, inclosos en els enters ordinaris ; i els enteres p-àdics.Atiyah and Macdonald, 1969, Chapter 1
Es considera que l'autèntic fundador de la matèria, que en l'època es coneixia com teoria d'ideals, fou David Hilbert, que sembla que va pensar sobre aquesta qüestion (al voltant de l'any 1900) com un enfocament alternatiu de la, llavors de moda, teoria de funcions complexes. Aquest enfocament segueix certa "línia" de pensament que considera que els aspectes computationals són secundaris respecte dels estructurals. El concepte addicional del mòdul, presentat d'alguna manera en l'obra de Kronecker, és tècnicament un pas endavant si es comprara amb treballar sempre directament en el cas especial dels ideals. Aquest canvi s'atribueix a la influència d'Emmy Noether.
Donat el concepte d'esquema, l'àlgebra commutativa és pensada i entesa de forma raonable, bé com la teoria local o bé com la teoria afí de la geometria algebraica.
L'estudi dels anells que no són commutatius es coneix com a àlgebra no commutativa; inclou la teoria d'anells, la teoria de les representacions, i la teoria de les àlgebres de Banach.
Introducció L'àlgebra commutativa és essencialment l'estudi dels anells que formen part de la teoria algebraica dels nombres i de la geometria algebraica.
En la teoria algebraica dels nombres, els anells de nombres enters algebraics són dominis de Dedekind, que constitueixen, per tant, una classe important d'anells commutatius. Les consideracions relacionades amb l'aritmètica modular han donat lloc a la noció d'un anell de valoració. La restricció d'extensions de cos algebraic a subanells han introduit les nocions d'extensions integrals i dominis integralment tancats, així com a la noció de ramificació d'una extensió d'anells de valoració.Miles Reid, Undergraduate Commutative Algebra (London Mathematical Society Student Texts), Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1996.
La noció de localització d'un anell (en particular, la localització respecte d'un ideal primer, la localització que consisteix a invertir un únic element i l'anell del quocient total) és una de les principals diferències entre l'àlgebra commutativa i la teoria d'anells no commutatius. Condueix a una classe important d'anells commutatius, els anells locals que tenen un únic ideal màxim. El conjunt dels ideals principals d'un anell commutatiu està naturalment equipat amb una topologia, la topologia de Zatiski. Totes aquestes nocions són molt utilitzades en geometria algebraica i són les einte tècniques bàsiquess per a la definició de la teoria d'esquemes, una generalització de la geometria algebraica introduïda per Grothendieck.
Moltes altres nocions de l'àlgebra commutativa són contrapartides de les nocions geomètriques que es donen en la geometria algebraica. Aquest és el cas de la dimensió de Krull, de la descomposició primària, dels anells regulars, dels anells de Cohen-Macaulay, dels anells de Gorenstein, i de moltes altres nocions.
Història La matèria, coneguda inicialment com a teoria dels ideals, va començar a ser estudiada en el treball de Richard Dedekind sobre ideals, el mateix es va basar en el treball previ de Ernst Kummer i Leopold Kronecker. Més tard, David Hilbert va introduir el terme anell per a generalitzar el terme anterior anell de nombres. En Hilbert va presentar un enfocament més abstracte per a substituir els mètodes més concrets i orientats al càlcul que es basaven en aquesta mena d'objectes com ara l'anàlisi complexa teoria dels invariants. Al seu torn, en Hilbert va influir fortament en Emmy Noether, a qui es deu gran part de l'enfocament abstracte i axiomàtic de la matèria. Una altra fita important va ser el treball de l'alumne de Hilbert Emanuel Lasker, que va presentar els ideals primers i va demostrar la primera versió del teorema de Lasker–Noether.
La principal figura responsable del naixement de l'àlgebra commutativa com a matèria madura va ser Wolfgang Krull, que va introduir nocions fonamentals de localització i compleció d'un anell, així com el d'anells locals regulars. Va establir el concepte de dimensió de Krull d'un anell, primer per als anells noetherians abans d'expandir la seva teoria per a cobrir els anells de valoració i els anells de Krull. Fins a dia d'avui, es considera àmpliament el teorema ideal principal de Krull com el teorema fonamental més important de l'àlgebra commutativa. Aquests resultats van aplanar el camí per a la introducció de l'àlgebra commutativa en la geometria algebraica, una idea que va revolucionar aquesta darrera matèria.
Gran part del desenvolupament modern de l'àlgebra commutativa es basa en els mòduls. Tant els ideals d'un anell A com les A-àlgebres són casos particulars dA-mòduls, per això la teoria dels mòduls inclou tant la teoria dels ideals com la teoria de les extensions dels anells. Encara que ja incipient en el treball de Kronecker l'enfocament modern de l'àlgebra commutativa fent servir la teoria dels mòduls s'atribueix normalment a Emmy Noether.
Eines i resultats principals Anells noetherians
En matemàtiques, i més concretament en l'àrea de l'àlgebra moderna coneguda com teoria d'anells, un anell noetherià, anomenat així per Emmy Noether, és un anell en què tot conjunt buit d'ideals té un element maximal. Equivalentment, un anell és noetherià si satisfà la condició de cadena ascendent sobre ideals; és a dir, donada qualsevol cadena:
existeix un nombre n tal que:
Per tal que un anell commutatiu sigui noetherià només cal que cada ideal primer de l'anell estigui finitament generat (com va demostrar I. S. Cohen).
La noció d'anell noetherià és d'importància fonamental tant en la toeria d'anells commutatius com en la d'anells no commutatius, donat el paper que exerceix en la simplificació de l'estructura ideal d'un anell. Per exemple, l'anell d'enters i l'anell de polinomis sobre un cos són anells noetherians i, en conseqüència, teoremes com el teorema de Lasker-Noether, el teorema de la intersecció de Krull i el teorema de la base de Hilbert hi apliquen. A més, si un anell és notherià, llavors satisfà la condició de cadena ascendent en ideals primers. Aquesta propietat suggereix una teoria profunda de la dimensió dels anells noetherians que comença amb la noció de dimensió de Krull.
Teorema de la base de Hilbert
El teorema de la base de Hilbert té alguns corol·laris immediats:
Per inducció, es té que també serà noetherià. Atès que qualsevol varietat afí sobre (és a dir un locus-conjunt d'una col·lecció de polinomis) pot escriure's com el locus d'un ideal i a més com el locus dels seus generadors, es dedueix que tota varietat afí és el locus d'un gran nombre finit de polinomis -és a dir, la intersecció d'un gran nombre finit d'hipersuperfícies. Sigui una àlgebra finitament generada, llavors , on és un ideal. El teorema de la base implica que ha de ser finitament generat, és a dir , per tant, és finitament presentada.
Descomposició primària Es diu que un ideal Q d'un anell és primari si Q és propi i sempre que xy ∈ Q, o bé x ∈ Q o bé yn ∈ Q per a algun nombre enter positiu n. En Z, els ideals primaris són precisament els ideals de la forma (pe) on p és primer i e és un enter positiu. Així, una descomposició primària de (n) correspon a representar (n) com la intersecció de finitament molts ideals primaris.
Es pot veure el teorema de Lasker-Noether, enunciat aquí, com una certa generalització del teorema fonamental de l'aritmètica:
Teorema de Lasker-Noether:
Sigui R un anell noetherià commutatiu i sigui I un ideal d'''R. Llavors es pot escriure I com la intersecció de finitament molts idelas primaris amb diferents radicals; és a dir:
amb Qi primari per a tot i i Rad(Qi) ≠ Rad(Qj) per a i ≠ j. A més, si:
és la descomposició de I amb Rad(Pi) ≠ Rad(Pj) per a i ≠ j, i ambdues descomposicions de I són irredundants (que vol dir que cap subconjunt propi de {Q1, ... , Qt} o {P1, ... Pk} produeix una intersecció igual a I), t = k i (després de renumerar possiblement el Qi) Rad(Qi) = Rad(Pi) per a tot i.
Per a qualsevol descomposició primària de I, el conjunt de tots els radicals, és a dir, el conjunt {Rad(Q1), ..., Rad(Qt)} segueix sent el mateix pel teorema de Lasker-Noether. De fet, resulta que (per a un anell noetherià) el conjunt és precisament el primer associat del mòdul R/I; és a dir, el conjunt de tots els aniquiladors de R/I (vist com un mòdul sobre R) que són primers.
Localització La localització és una manera formal d'introduir els "denominadors" a un anell donat o a un mòdul. És a dir, introdueix un nou anell/mòdul a partir d'un de ja existent de manera que estigui format per fraccions . on els denominadors s oscil·len en un subconjunt donat S de R. L'exemple arquetípic és la construcció de l'anell Q' dels nombres racionals a partir de l'anell Z' dels nombres enters.
Compleció Una compleció és qualsevol dels diversos functors relacionats sobre anells i mòduls que donen lloc a anells topològics i mòduls complets. La compleció és similar a la localització, i juntes es troben entre les eines més bàsiques per analitzar anells commutatius. Els anells commutatius complets tenen una estructura més simple que els generals i són aplicats en el lema de Hensel.
Topologia de Zariski sobre ideals primers La topologia de Zariski defineix una topologia sobre l'espectre d'un anell (el conjunt dels ideals primers). En aquesta formulació, els conjunts tancats de Zariski són els conjunts
on A és un anell commutatiu fixe i I és un ideal. Això es defineix per analogia amb la topologia clàssica de Zariski, on els conjunts tancats en l'aespai afí són els definits per equacions polinòmiques. Per a veure la connexió amb la imatge clàssica, noti's que per a qualsevol conjunt S de polinomis (sobre un cos algebraicament tancat), es dedueix del teorema dels zeros de Hilbert que els punts de V(S) (en el sentit clàssic) són exactament les tuples (a1, ..., an) tals que (x1 - a1, ..., xn - an) contenen S; a més, són ideals maximals i per la Nullstellensatz "feble", un ideal de qualsevol anell de coordenades afí és maximal si i només si és d'aquesta forma. Per tant, V(S) és "el mateix que" els ideals maximals que contenen S. La innovació de Grothendieck en definir Spec va ser substituir els ideals maximals per tots els ideals primers; en aquesta formulació és natural generalitzar simplement aquesta observació a la definició d'un conjunt tancat en l'espectre d'un anell.
Vegeu també Base de Gröbner Àlgebra homològica
Referències
Michael Atiyah & Ian G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Massachusetts : Addison-Wesley Publishing, 1969. Bourbaki, Nicolas, Commutative algebra. Chapters 1--7. Translated from the French. Reprint of the 1989 English translation. Elements of Mathematics (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv+625 pp. Bourbaki, Nicolas, Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9. (Elements of mathematics. Commutative algebra. Chapters 8 and 9) Reprint of the 1983 original. Springer, Berlin, 2006. ii+200 pp. David Eisenbud, Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry, New York : Springer-Verlag, 1999. Rémi Goblot, "Algèbre commutative, cours et exercices corrigés", 2e édition, Dunod 2001, Ernst Kunz, "Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry", Birkhauser 1985, Matsumura, Hideyuki, Commutative algebra. Second edition. Mathematics Lecture Note Series, 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv+313 pp.