El càlcul infinitesimal és una branca de les matemàtiques, desenvolupada a partir de l'àlgebra i la geometria, que involucra dos conceptes complementaris: el concepte d'integral (càlcul integral) i el concepte de derivada (càlcul diferencial). Les dues operacions són inverses i estan lligades pel teorema fonamental del càlcul. Els fundadors d'aquesta branca són Isaac Newton i Gottfried Leibniz i els seus precursors John Wallis i Isaac Barrow. Posteriorment, va ser Augustin Louis Cauchy qui va donar-li una forma més rigorosa en afegir-hi el concepte de límit. Aquesta branca de les matemàtiques ha esdevingut la base fonamental de la física des de la qual es vertebra. El càlcul té també aplicacions en química, enginyeria, economia i medicina.
Història Període antic El període antic va introduir algunes de les idees de càlcul integral, però no sembla que hagi desenvolupat aquestes idees d'una manera rigorosa o sistemàtica. El càlcul de volums i àrees, la funció bàsica de càlcul integral, es pot remuntar al papir egipci de Moscou (1890 aC), en el qual un egipci calcula amb èxit el volum d'un tronc de piràmide.No hi ha cap prova de com es va assolir el resultat; alguns, entre els quals s'inclou Morris Kline (Mathematical thought from ancient to modern times Vol. I) suggereixen que s'hi va arribar per prova i error.Helmer Aslaksen. Why Calculus? Universitat nacional de Singapore.
Entre els matemàtics grecs, Èudox de Cnidos (366 aC) feia servir el mètode d'exhaustió, que anticipa el concepte de límit, per a calcular àrees i volums, mentre que Arquimedes (circa 287-212 aC) desenvolupava més aquesta idea, i inventa heurístiques que s'assemblen al càlcul infinitesimal.Archimedes, Method, in The Works of Archimedes
Mètodes similars varen ser desenvolupats de manera independent a la Xina al voltant del per Liu Hui, que els va fer servir per a trobar l'àrea del cercle. Més tard, Zu Chongzhi va fer servir aquest mètode per a trobar el volum d'una esfera.
Època medieval Al voltant de l'any 1000, el matemàtic islàmic Alhazen va ser el primer a obtenir la fórmula de la suma de les potències quartes d'una progressió aritmètica, utilitzant un mètode que és directament generalitzable per a trobar la fórmula de la suma de qualsevol potència entera superior, i feia servir aquest mètode per a realitzar una integració.Victor J. Katz (1995). "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3), p. 163-174. Al , el matemàtic xinès Shen Kuo desenvolupava equacions que tractaven la integració. Al , el matemàtic indi Bhskara II desenvolupa una derivada que representant un canvi infinitesimal, i descriu una primera forma del teorema de Rolle.Ian G. Pearce. Bhaskaracharya II. També al , el matemàtic persa Sharaf al-Dīn al-Tūsī descobreix la derivada de polinomis cúbics, un resultat important en càlculs diferencial.J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society 110 (2), p. 304-309. En el , Madhava de Sangamagrama, conjuntament amb altres astrònoms i matemàtics de l'escola Kerala d'astronomia i matemàtiques, descriu casos particulars de sèries de Taylor, que es tracten en el text Yuktibhasa.
Període modern En el període modern, de manera independent, es van fer descobriments sobre càlcul a començaments del al Japó, per matemàtics com Seki Kowa, que van expandir el mètode d'exhaustió.
A Europa, el treball que va fundar el càlcul infinitesimal va ser un tractat degut a Bonaventura Cavalieri, que sostenia que els volums i les àrees s'han de calcular com les sumes dels volums i les àrees d'infinitesimal de seccions infinitesimalment primes. Les idees eren similars a les que exposa Arquimedes en El mètode dels teoremes de mecànica, però aquest tractat va romandre perdut fins a la primera part del , quan es va descobrir el palimpsest d'Arquimedes. El treball de Cavalieri no va rebre gaire consideració, ja que els seus mètodes poden conduir a resultats erronis, i les quantitats infinitesimals que introduïa al començament estaven mancades de reputació.
L'estudi formal de càlcul combinava els infinitesimals de Cavalieri amb el càlcul de diferències finites desenvolupat a Europa al voltant del mateix temps. La combinació, la van fer John Wallis, Isaac Barrow, i James Gregory, els dos últims van demostrar el segon teorema fonamental del càlcul al voltant de 1675.
La regla del producte i la regla de la cadena, la noció de derivades d'ordre superior, de sèrie de Taylor, i de funcions analítiques, van ser introduïdes per Isaac Newton en una notació idiosincràtica que utilitzava per a resoldre problemes de física matemàtica. En les seves publicacions, Newton no escrivia els conceptes tal com els havia desenvolupats, sinó que reformulava les seves idees d'ajustar-se al modisme matemàtic del temps, canviant càlculs amb infinitesimals per arguments geomètrics equivalents que es consideraven més enllà de retret. Va fer servir els mètodes del càlcul infinitesimal per a resoldre el problema del moviment planetari, la forma de la superfície d'un fluid que gira, la deformació de la Terra respecte d'una esfera, el moviment d'un pes que llisca en una cicloide, i molts altres problemes dels quals parla en el seu Principia Mathematica. En un altre treball, va obtenir els desenvolupaments en sèrie de les funcions, incloent-hi potències fraccionàries i irracionals, i és clar que entenia els principis de la sèrie de Taylor. No va publicar tots aquests descobriments, i en aquella època els mètodes infinitesimals encara es consideraven de mala reputació.
miniatura|Gottfried Wilhelm Leibniz inicialment va ser acusat de plagiar el treball inèdit d'Isaac Newton, però avui es considera ara com a inventor i contribuïdor independent al càlcul infinitesimal Gottfried Wilhelm Leibniz va desenvolupar un veritable càlcul d'infinitesimals que sistematitza aquestes idees. La seva contribució va proporcionar un conjunt clar de regles per manipular quantitats infinitesimals, permetre el càlcul de derivades segones i superiors, i va donar la regla del producte i la regla de la cadena, en les seves formes diferencials i integrals. A diferència de Newton, Leibniz parava molta atenció en el formalisme; sovint passava dies sencers per determinar els símbols apropiats als conceptes.
Per tal d'entendre el raonament de Leibniz en càlcul infinitesimal, s'han de tenir presents els seus antecedents. En particular dos d'aquests: La seva metafísica, que considera el món com un agregat infinit de mònades indivisibles. La seva intenció, inspirada per les idees de lArs magna de Ramon Llull,Leibniz l'anomenà "ars combinatòria" i per això avui en dia també se la coneix amb aquest nom de crear una lògica formal precisa amb la qual obtenir "un mètode general amb el qual totes les veritats de la raó s'haurien de reduir a una mena de càlcul."
Des del temps de Leibniz i Newton, molts matemàtics han contribuït al desenvolupament, que encara continua, del càlcul infinitesimal. Al , es creava un fonament molt més rigorós per al càlcul per part de matemàtics com Augustin Louis Cauchy, Riemann, i Weierstrass. Va ser també durant aquest període que les idees del càlcul es generalitzaven a l'espai euclidià i al pla complex. Lebesgue va generalitzar la idea d'integral, de manera que, virtualment, qualsevol funció tingui una integral, mentre que Laurent Schwartz, en gran part de la mateixa manera, va estendre la derivació.
El 1960, el matemàtic Abraham Robinson desenvolupa l'anàlisi no estàndard en què es fa un ús rigorós del concepte d'infinitesimal. Amb la qual cosa, avui es torna a poder fer servir aquest concepte que havia estat substituït progressivament per la noció de límit. Alguns educadors mantenen que l'ús d'infinitesimals és més intuïtiu i més fàcilment entès pels estudiants que l'anomenada aproximació d'èpsilon-delta a conceptes analítics.H. Jerome Keisler, Elementary calculus: An Approach Using Infinitesimals. Primera edició 1976; 2a edició 1986. L'editor d'aquest llibre ha revertit el copyright a l'autor qui l'ha posat la segona edició en format .pdf disponible per ser descarregada a Aquest enfocament, de vegades, proporciona demostracions més fàcils que la formulació d'èpsilon-delta de l'anàlisi.
Branques del càlcul infinitesimal Successions i límits
El càlcul es desenvolupa normalment manipulant quantitats molt petites. Històricament, el primer mètode de fer això era emprant infinitesimals. Aquests són objectes que es poden tractar com a nombres, però que són, en algun sentit, "infinitament petits". Un nombre infinitesimal dx és més gran que 0, però més petit que qualsevol nombre en la seqüència 1, 1/2, 1/3... i més petit que qualsevol nombre real positiu. Qualsevol múltiple enter d'un infinitesimal és també infinitament petit, és a dir, els infinitesimals no satisfan l'axioma d'Arquimedes (per tant, no són nombres reals). Des d'aquest punt de vista, el càlcul és una col·lecció de tècniques per a manipular infinitesimals. Aquest enfocament va caure en desús al per la dificultat de fer precisa la idea d'un infinitesimal. Tanmateix, el concepte es reactiva al amb l'aparició de l'anàlisi no estàndard, que proporciona fonaments sòlids per a la manipulació d'infinitesimals.
Al , els infinitesimals es van substituir per límits. Els límits descriuen el valor d'una funció en un punt en termes dels seus valors en punts propers. Capten comportaments a petita escala, just com els infinitesimals, però fan servir el sistema habitual de nombres reals. En aquest enfocament, el càlcul és una col·lecció de tècniques per a manipular certs límits. Els infinitesimals se substitueixen per nombres molt petits, i el comportament de la funció en intervals infinitament petits es troba agafant el límit del seu comportament per nombres més i més petits. És fàcil establir els límits basant-se en fonaments rigorosos, i per aquesta raó es considera normalment que són l'aproximació estàndard al càlcul infinitesimal.
Les successions són funcions definides amb un domini en els nombres naturals i normalment l'estudi dels límits de les successions és el primer pas per a estudiar els límits de les funcions definides sobre un domini en el conjunt dels nombres reals.
Càlcul diferencial
El càlcul diferencial és l'estudi de les derivades i les seves aplicacions. El concepte de derivada d'una funció està relacionat amb la mesura de la rapidesa amb què varia la funció. Si la funció és una funció real de variable real i la variable independent s'interpreta com el temps i la variable dependent com la posició, llavors la derivada de la funció en un punt (en un instant) és la velocitat en aquell instant. També és el pendent de la recta tangent en la gràfica de la funció en el punt.
Seguint amb aquestes dues interpretacions, la derivada de la funció en un punt es pot definir com el límit de la velocitat mitjana en un interval de temps que conté el punt (instant) quan l'amplada de l'interval es fa molt petita (tendeix a zero). O també com la recta secant a la gràfica de la funció que passa pel punt i també per un altre punt molt pròxim (tendeix al primer).
Més rigorosament: sia y=f(x) una funció de x; la derivada de y respecte de x al punt a és, geomètricament parlant, el pendent de la recta tangent a la gràfica de f al punt a. El pendent de la tangent és molt proper al pendent de la recta que passa per (a, f(a)) i un punt molt proper en la gràfica, per exemple (a + h, f(a + h)). D'aquesta recta, se'n diu recta secant. El pendent de la recta secant és la diferència entre els valors de y en aquests dos punts, dividit per la diferència entre els valors de x. És a dir,
Formalment, la derivada de la funció f a a és el límit: Fonaments de càlcul, M.Rosa Estela, 2003, Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya S.L., , pàgina 171