Булевата алгебра (или алгебрата на съжденията) е клон от алгебрата. За разлика от училищната алгебра тук променливите могат да имат две стойности, наричани „ЛЪЖА“ и „ИСТИНА“, записвани също като „0“ и „1“. Друга основна разлика от обичайната алгебра е, че вместо аритметични действия се използват бинарните логическите оператори „И“, „ИЛИ“ и унарната операция „НЕ“. Работата с логическите операции има пряка връзка с операциите над множества сечение, обединение и допълнение.
Тя е формулирана за първи път от британския математик Джордж Бул (1815 – 1864) през 19 век, с цел да се използват алгебрични методи в логиката. Булевата алгебра и булевите операции стоят в основата на информатиката, програмирането и функционирането на компютърните системи, които работят чрез споменатите логически операции.
Операторите се срещат често написани по различен начин, напр. И, ИЛИ, НЕ (англ. AND, OR, NOT); ∧, ∨, ¬; математиците често използват + за ИЛИ, · за И и черта над символа за НЕ.
Тук са използвани логическите символи ∧, ∨ и ¬.
Дефиниция Булева алгебра е множество S с дефинирани функции Λ (конюнкция И), V (дизюнкция ИЛИ) и ¬ (отрицание НЕ)
Булева алгебра с два елемента X1 X2 Теорията се базира на действия над „съждения“, които се интерпретират само или като верни, или като неверни.
Съждението: „2 по 2 е равно на четири" е истинно. В булевата алгебра се отбелязва, че верността му е 1.
Съждението: „Желязото е карбонат“ е лъжовно. В булевата алгебра се отбелязва, че верността му е 0.
При съставянето на сложни съждения се използват логическите операции „и“ (конюнкция), „или“ (дизюнкция), „не“ (отрицание), „следва“ (импликация).
Най-висок приоритет има отрицанието, следвано от конюнкцията и дизюнкцията.
Изразите в тази алгебра се наричат булеви изрази.
Операциите се дефинират, както следва:
Логическа операцияОператорЗаписванеАлтернативно записванеОпределениеКонюнкцияИДизюнкцияИЛИОтрицаниеНЕ¬x
Често логическите операции се дефинират чрез табулирането на техните стойности:
00 0 010 0 101 0 111 1 1
0110
Тази алгебра намира приложение в логиката, където 0 се интерпретира като „невярно“, а 1 като „вярно“. Изрази в тази алгебра се наричат булеви изрази.
Аксиоми : Инволюция на отрицанието, отрицанието е операция, обратна на самата себе си.
Бележки
Вижте също Побитова операция