Един от класическите резултати в комплексния анализ е теоремата на Лиувил, наречена на Жозеф Лиувил.
Теоремата на Лиувил гласи:
Функцията, която е аналитична и ограничена в цялата комплексна равнина, е константа.
С други думи всяка холоморфна функция f, за която съществува положително число M такова че |f(z)| ≤ M за всяко z в C, е константа.
Забележки Теоремата на Лиувил се използва за кратко и елегантно доказателство на основната теорема на алгебрата. Твърдението на теоремата се усилва значително от малката теорема на Пикар, която твърди, че всяка цяла функция, сред стойности на която липсват поне две различни комплексни числа, е константна. На езика на римановите повърхнини, теоремата на Лиувил може да се обобщи по следния начин: Ако M е параболична риманова повърхнина (например комплексната равнина C), а N е хиперболична (например отворен кръг), то всяка холоморфна функция, изобразяваща M в N, е константа.
Категория:Комплексен анализ Лиувил