Антипроизводната, наричана също първообразна функция или примитивна функция, на дадена математическа функция е диференцируема функция , чиято производна е равна на изходната функция (). Множеството от всички антипроизводни на е нейният неопределен интеграл. Процесът на намиране на антипроизводни се нарича интегриране и е противоположен на диференцирането, което е намиране на производни.

Първообразните функции са свързани с определените интеграли чрез фундаменталната теорема на анализа: определеният интеграл на дадена функция върху даден затворен интервал, в който тя е интегрируема, е равен на разликата между стойностите на нейната антипроизводна в краищата на интервала:

Това равенство се нарича формула на Нютон – Лайбниц.

Пример: Функцията е първообразна за защото

Нееднозначност Ако е първообразна функция за , то всяка функция, получена от чрез прибавяне на константа също е първообразна за . Така ако функцията има антипроизводна, тя влиза в цяло семейство антипроизводни което се нарича неопределен интеграл и се записва във вид на интеграл без означаване на граници:

Вярно е и обратното: ако е антипроизводна за функцията , която е определена в някакъв интервал, тогава всяка антипроизводна се различава от с константа: винаги съществува число , такова че за всяко . Графиките на такива антипроизводни са изместени вертикално една от друга и тяхното положение зависи от стойността на Числото се нарича константа на интегриране.

Например, семейството първообразни за функцията има вида: , където е произволно число.

Ако областта на определение на функцията не е твърд интервал, то нейните антипроизводни не е задължително да се различават с константа. Така например, функцията не съществува за нула, затова нейната област на определение се състои от два интервала: и Съответно се получават две независими семейства антипроизводни в тези интервали: , където е константа при и, общо взето, друга константа при :

Съществуване Всяка непрекъсната функция има първообразни , една из които се представя във вид на интеграл от с променлива горна граница:

Съществуват обаче и прекъснати функции, които имат първообразна. Например, функцията с първообразна f(0)=0</math> е прекъсната при , но има първообразна с . За прекъснати ограничени функции е удобно да се използва по-общият интеграл на Лебег вместо интеграл на Риман. Необходимите условия за съществуването на антипроизводна са функцията да принадлежи към първия клас на Бeр и да удовлетворява свойството на Дарбу.

Много примитивни функции, въпреки че съществуват, не могат да бъдат изразени чрез елементарни функции (т.е. полиноми, експоненциални функции, логаритми, тригонометрични функции, обратни тригонометрични функции и техни комбинации). Например:

.

За такива функции техният интеграл, ако съществува, може да се изчисли приблизително чрез числено интегриране.

Свойства на първообразните Първообразната на сума от функции е равна на сумата от първообразните на членовете. Първообразната на произведението на константа и функция е равна на произведението на константата и първообразната на функцията. Всички функции, непрекъснати в даден интервал, имат както антипроизводна, така и интеграл на Риман. Като цяло обаче съществуването на антипроизводна и интегрируемостта на функцията не са свързани: Знаковата функция (sgn) е интегрируема по Риман, но няма първообразна (поради прекъсване при нула). Функцията (нека също така положим ) има крайна производна в интервала ; следователно функцията има антипроизводна (а именно, ), но не е ограничена на и следователно не е интегрируема по Риман.

Техника на интегриране

Вижте също Таблица с интеграли на рационални функции

Намирането на първообразни функции е много по-трудно от намирането на производни. Има няколко метода за това: Линейността на интегрирането позволява разделянето на сложни интеграли на части; Интегриране чрез заместване, често използвано с тригонометрични тъждества или натурален логаритъм; Интегриране по части за операции с произведения на функции; Методът на обратната верига, специален случай на интегриране по части; Методът за интегриране на рационални дроби позволява интегриране на всякакви рационални функции (дроби с полиноми в числителя и знаменателя); Алгоритъмът на Риш за интегриране на всякакви елементарни функции; Някои интеграли могат да бъдат намерени в таблици; За многократно интегриране могат да се използват допълнителни техники; например двойния интеграл и полярните координати, Якобиана и теоремата на Стокс; Компютърните алгебрични системи помагат за автоматизиране на някои от горните символни операции (по-специално алгоритъма на Риш), което е много удобно, когато алгебричните изчисления станат твърде тромави.

Външни препратки Wolfram Integrator — изчисление на интеграли онлайн със системата Mathematica Mathematical Assistant on Web — символни изчисления онлайн Онлайн Калкулатор на Интеграли

Източници и бележки

Литература Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — 12-е изд.. — М.: Наука, 1977. — 872 с. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. 2. — 800 с. Шибинский В. М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 2007. — 543 с. — ISBN 978-5-06-005774-4.

Категория:Интегрално смятане