Обикновено диференциално уравнение (ОДУ) е диференциално уравнение, съдържащо една или повече функции на независима променлива и производните на тези функции.Уравнение от вида , където е независима променлива, е неизвестна функция, а са нейните производни до ред , се нарича обикновено диференциално уравнение (ОДУ) от -ти ред.Математика, доц. д-р Добромир Тодоров и гл. ас. Кирил Николов, УНСС, София, 2009 Определението „обикновено“ се използва в контраст с термина частно диференциално уравнение, което може да се решава спрямо повече от една независима променлива.
Хомогенни диференциални уравнения Важна роля в приложните научни дисциплини играят диференциалните уравнения от типа:
, където и могат да са функции на или константи.
За удобство при решаването на това интегрално уравнение -тата производна спрямо се обозначава с .
Ползвайки този оператор горното диференциално уравнение може да се запише като:
Ако , горното линейно диференциално уравнение се нарича хомогенно. Ако , уравнението се нарича нехомогенно.
Решение на хомогенни диференциални уравнения от втори ред
При решението на диференциални уравнения от втори и по-висок ред ползваме оператора D – имащ значение на диференциране спрямо х.
Да поясним какво е значението на този оператор:
Забележете че има смисъл на математическа операция, а не на променлива, и че с можем да извършваме прости математически операции като събиране, изваждане и умножение. Тук няма да доказваме свойствата на този оператор. Чрез използването на този оператор решението на диференциалното уравнение се свежда до намиране на първа производна на функция и до събиране със същата функция.
Диференциалното уравнение от втори ред добива следния вид: =>
Решаваме горното квадратно уравнение и получаваме:
Полагаме , където е функция на х.
Тогава цялото диференциално уравнение се свежда до:
Това уравнение се решава лесно чрез разделяне на променливите:
Заместваме полученият резултат за z в
Това е линейно диференциално уравнение от първи ред.
интегрираме и получаваме следното решение:
Преобразуваме:
Когато и са реални числа, решението за функцията е:
Вижте също Методи на Рунге-Кута
Източници
Категория:Диференциално смятане Категория:Уравнения