Константата на Ойлер – Маскерони (наричана още константа на Ойлер) е математическа константа, появяваща се в математическия анализ и теорията на числата, обикновено обозначавана с гръцката буква гама ().
Определя се като сходящата разлика между хармоничен ред и натурален логаритъм:
Тук представлява функция скобка.
Числената стойност на константата на Ойлер – Маскерони до 50-ия знак след десетичната запетая е:
0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992…
История Константата се появява за пръв път през 1734 г. в труд на швейцарския математик Леонард Ойлер, озаглавен De Progressionibus harmonicis observationes. Ойлер използва означенията и за константата. През 1790 г. италианският математик Лоренцо Маскерони използва нотациите и за константата. Обозначението не присъства никъде в писанията на Ойлер или Маскерони и е избрано по-късно, вероятно заради връзката на константата с гама-функцията. Например, немският математик Карл Антон Бретшнайдер използва означението през 1835 г.,Carl Anton Bretschneider: Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova (13 октомври 1835), Journal für die reine und angewandte Mathematik 17, 1837, с. 257 – 285 (in Latin; „ = = )“ а Огъстъс Де Морган го използва в учебник, публикуван на части от 1836 до 1842 г.Augustus De Morgan: The differential and integral calculus, Baldwin and Craddock, London 1836 – 1842 („“)
Проявления Константата на Ойлер – Маскерони се проявява в следните места ('*' означава, че този запис съдържа подробно уравнение):
Изрази, включващи интегрална показателна функция* Трансформация на Лаплас за натурален логаритъм Първо условие на разширението на реда на Лоран за дзета-функцията на Риман* Изчисления на дигама-функция Формула за произведение на гама-функция Неравенство за функцията на Ойлер Нарастване на сигма-функцията Регулация на измеренията в диаграмата на Файнман Трета теорема на Мертенс* Решение от втори вид на уравнението на Бесел Регулация на хармоничните редове като крайна стойност Осредняване на разпределението на Гумбел Ентропия на Шанън при разпределенията на Уейбъл и Леви и, имплицитно, на разпределението хи-квадрат за една или две степени на свобода Някои формулировки на закона на Ципф Определение на косинусовия интеграл* Долни граници на интервалите между простите числа.
Свойства Числото все още не е доказано, че е алгебрично или трансцендентно. Всъщност, не се знае дали е ирационално. Анализ на верижната дроб показва, че ако е рационално, то знаменателят му трябва да е по-голям от 10242080. Вездесъщността на , доказана от големия брой уравнения по-долу, прави ирационалността на голям отворен въпрос в математиката.
Връзка с гама-функцията е свързана с дигама-функцията и следователно производната на гама функцията , когато и двете функции се изчисляват с 1. Оттук:
Това е равно на границите:
По-нататъшните резултати за границите са:
Граница, свързана с бета-функцията (изразена спрямо гама-функции) е
Връзка с дзета-функцията може също да бъде изразена като безкрайна сума, чиито условия включват дзета-функция на Риман, изчислена с положителни цели числа:
Други редове, свързани с дзета-функцията включват:
Условието на грешката в последното уравнение е бързо намаляваща функция на . В резултат на това, формулата е подходяща за ефективно изчисление на константата с висока точност.
Други интересни граници, равняващи се на константата на Ойлер – Маскерони са асиметричната граница:
и формулата на Вале-Пусен:
където са скобите на функцията скобка.
Тясно свързано с това е изразът на рационалните дзета редове. Взимайки отделно първите няколко условия на горните редове, може да се направи оценка за границата на класическия ред:
където е дзета-функцията на Хурвиц. Сборът в това уравнение включва хармонични числа . Разширявайки условията в дзета-функцията на Хурвиц, се получава:
където
Интеграли е равна на стойността на число от определени интеграли:
където е дробното хармонично число.
Определени интеграли, в които се появява , са:
може да се изрази и така:
Интересно сравнение с двойния интеграл и променливият ред е:
То показва, че може да бъде считано като „променлива Ойлерова константа“.
Двете константи също често се свързва от чифта редове
където и са броя единици и нули, съответно, в двоично разширение на .
Разширение на редове Ойлер показва, че следният безкраен ред приближава :
Редът за е еквивалентен на реда на Нилсен, открит през 1897 г.:
През 1910 г. Джовани Вака открива тясно свързаните редове:
където е двоичен логаритъм, а функция скобка.
През 1926 г. Вака намира втори ред:
От разширението на логаритъма на гама-функцията на Малмстен – Кумер се получава:
Важно разширение за константата на Ойлер се дължи на Грегорио Фонтана и Лоренцо Маскерони:
където са коефициенти на Грегъри.
Друго важно разширение с коефициенти на Грегъри, включващо константата на Ойлер е:
и е сходимо за всички .
Редове от прости числа:
Редове, свързани с квадратни корени:mathworld.wolfram.com
Асимптотични разширения се равнява на следните асимптотични формули (където е -тото хармонично число):
Третата формула се нарича също разширение на Рамануджан.
Експонента Константата е важна в теорията на числата. Някои автори обозначават тази величина просто като . Тя е равна на следната граница, където е -тото просто число:
Това потвърждава третата от теоремите на Мартенс.mathworld.wolfram.com Числената стойност на е
Други безкрайни произведения, свързани с , включват:
Също така, имаме:
където -тата степен е -ият корен на
Източници
Категория:Математически константи Категория:Теория на числата