Правоъгълен тетраедър е този, на който всички ръбове, съседни на един от върховете, са перпендикулярни един на друг. Този връх се нарича прав ъгъл или връх на триправоъгълния тетраедър, а лицето срещу него се нарича основа. Трите ръба, които се срещат под прав ъгъл, се наричат катети, а перпендикулярът от правия ъгъл към основата се нарича височина на тетраедъра (аналогично на височината на триъгълник). Триправоъгълен тетраедър може да се получи чрез отрязване с равнина на тетраедър от правоъгълен паралелепипед. В него трите лицеви ъгъла в един връх са прави ъгли, както в ъгъла на куб (фиг. 1). Страничните му стени са правоъгълни триъгълници. Ако и четирите стени са правоъгълни триъгълници, тетраедърът е четириправоъгълен. Той има 2 прави ъгъла във всеки от двата върха, затова се нарича още двуправоъгълен или характерен тетраедър. Известен е и с името 3-ортосхема.
Например специалният случай на 3-ортосхема с перпендикулярни ръбове с еднаква дължина е характерен за куба, което означава, че кубът може да бъде подразделен на екземпляри на тази ортосхема (фиг. 2). Ако неговите три перпендикулярни ръба са с единична дължина, останалите му ръбове са два с дължина и един с дължина , така че всичките му ръбове са ръбове или диагонали на куба. Кубът може да бъде разчленен на 6 такива 3-ортосхеми по 4 различни начина, като и шестте обграждат един и същ диагонал на куба с дължина . Кубът може също така да бъде разчленен на 48 по-малки екземпляра на същата характерна 3-ортосхема (само по един начин, чрез всичките си равнини на симетрия наведнъж). Problem 3 on page 437 Exercise 149 on page 365 Характерният тетраедър на куба е пример за Херонов тетраедър (тетраедър, чиито дължини на ръбове, лицеви площи и обем са цели числа).
Ако основата е равностранен триъгълник, тялото се е нарича правилен триправоъгълен тетраедър, въпреки че не е правилен многостен. Околните му стени обаче не са еднакви правоъгълни триъгълници, тъй като не е възможно да се конструира дисфеноид (равностенен тетраедър) със стена правоъгълен триъгълник.
Формули
В правоъгълен тетраедър с перпендикулярни ръбове , , , пресичащи се във върха точка (прав тристенен ъгъл – фиг. 3, 4): – обем на тетраедъра; – площ на основата на тетраедъра, вид запис на теоремата на Де Гуа; – пълна повърхнина на тетраедъра; (фиг. 3); – височина на тетраедър, спусната от върха на правоъгълен тристенен ъгъл към основата, където е площта на основата на тетраедъра; – радиус на сферата, описана около тетраедъра; – радиус на сфера, вписана в тетраедъра; – медиана, изтеглена от върха на правоъгълен тристенен ъгъл.
Теорема на Де Гуа Ако в триправоъгълен тетраедър площта на основата е и площите на трите правоъгълни стени са и (фиг. 4), тогава
Теоремата е публикувана от френския математик Жан-Пол де Гуа (1713 – 1785) през 1783 г. Това е обобщение на Питагоровата теорема за тетраедър.
Координати на забележителни точки
Ако правоъгълният връх на тетраедъра т. е начало на тримерна правоъгълна координатна система (фиг. 5), а трите му правоъгълни стени лежат в нейните равнини, върховете на основата са на координатните оси и ръбовете съвпадат с тези оси (фиг. 3, 4). Тогава в ортонормалната рамка координатите на някои забележителни точки се определят от следните изрази: . Центърът на тежестта , който е едновременно барицентър на върховете и център на масите на хомогенното тетраедрично твърдо тяло. Центърът на тежестта на основата . Центърът на описаната сфера , която има радиус . Уравнението на основната равнина e .
Построение Развивката на триправоъгълния тетраедър е съставена от триъгълник (който е основата на тетраедъра) и три правоъгълни триъгълника (които са околните стени) с хипотенузи, равни на страните на основния триъгълник (фиг. 6).
1. Нека са дадени дължините на околните ръбове . Те са катети на правоъгълните триъгълници, които са околните стени. От тях се изчисляват хипотенузите им и се построява основата по три страни:
, .
2. Дадени са страните на основата, която е остроъгълен триъгълник със страни . От тях се изчисляват катетите на правоъгълните триъгълници и се построяват околните стени: , , .
Целочислени варианти и съединения Съвършено тяло и съединения Площта на основата винаги е ирационално число съгласно теоремата на Де Гуа. Така триправоъгълен тетраедър с цели ръбове никога не е съвършено тяло (с всички целочислени размери). Триправоъгълната бипирамида (6 стени, 9 ръба, 5 върха – фиг. 7), изградена от такива триправоъгълни тетраедри и свързаните с тях леви подобия (огледални копия вляво), свързани на техните основи, има рационални числа за дължини на ръбовете, площи на стените и обема, но ирационална стойност за дължината на пространствения диагонал между двата триправоъгълни върха, която е рационална част от дължината на пространствения диагонал на съответното свързано тяло Ойлеров паралелепипед – вид почти съвършен правоъгълен паралелепипед.Ралф Щайнер – A031173, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), 22 ноември 2017 г. – 14 януари 2018 г.
Целочислени ръбове Съществуват триправоъгълни тетраедри, на които страните на триъгълната основа и катетите са цели числа. Най-малкият от тях има размери и е открит от Халке през 1719 г. (фиг. 7). В таблицата са дадени примери за триправоъгълни тетраедри с цели катети и страни, като някои от тях са кратни на по-малки, а други съседни са свързани и имат повтарящи се ръбове:
+ Целочислени ръбове на правоъгълен тетраедър a b c d e f 240 117 44 125 244 267 275 252 240 348 365 373 480 234 88 250 488 534 550 504 480 696 730 746 693 480 140 500 707 843 720 351 132 375 732 801 720 132 85 157 725 732 792 231 160 281 808 825 825 756 720 1044 1095 1119 960 468 176 500 976 1068 1100 1008 960 1392 1460 1492 1155 1100 1008 1492 1533 1595 1200 585 220 625 1220 1335 1375 1260 1200 1740 1825 1865 1386 960 280 1000 1414 1686 1440 702 264 750 1464 1602 1440 264 170 314 1450 1464
Цели лица Съществуват триправоъгълни тетраедри с цели лица и височина , напр. без взаимно прости или с взаимно прости .
Описан паралелепипед Около двата правоъгълни тетраедъра и с обща основа със страни може да се опише паралелепипед (фиг. 8) с върхове .
Това е ромбоедър с дължина на ръба и четири диагонала също с дължина .
Вижте също Тетраедър Правилен тетраедър Съвършен паралелепипед Симплекс
Източници
Външни препратки Weisstein, Eric W. – Trirectangular Tetrahedron
Категория:Пирамиди (геометрия) Категория:Многостени