right|thumb|392px|Каталог эліптычных крывых. Паказана вобласць [−3,3]² (Для a = 0 і b = 0 функцыя не гладкая і таму не з’яўляецца эліптычнай крывой.)
У матэматыцы, эліптычная крывая (ЭК) — , адзін, на якой ёсць вызначаны пункт O. Эліптычная крывая — гэта па сутнасці , г.зн. на ёй вызначана алгебраічная аперацыя множання, адносна якой пункты крывой утвараюць групу (абавязкова камутатыўную), а пункт O служыць адзінкай групы (нейтральным элементам). Часта сама крывая, без выбранага пункта O, называецца эліптычнаю крывою.
Любую эліптычную крывую можна прадставіць як плоскую алгебраічную крывую, вызначаную ўраўненнем віду:
якое не мае , г.зн. на яго графіку няма і самаперасячэнняў. (Калі характарыстыка поля каэфіцыентаў раўняецца 2 ці 3, вышэйпрыведзенае ўраўненне не дастаткова агульнае, каб уключыць усе несінгулярныя ; гл. ніжэй больш дакладнае азначэнне.) Пункт O — гэта, на самай справе, «» на .
Калі y² = P(x), дзе P — кубічны мнагачлен ад x без кратных каранёў, то мы атрымліваем несінгулярную плоскую крывую 1, якая, такім чынам, з’яўляецца эліптычнаю крывою. Калі P мае чацвёртую ступень і , гэтае ўраўненне ізноў апісвае плоскую крывую роду адзін; аднак, для яе няма натуральнага выбару нейтральнага элемента. Больш агульна, любая алгебраічная крывая роду адзін, напрыклад, перасячэнне дзвюх , укладзеных у трохмерную праектыўную прастору, называецца эліптычнай крывой пры ўмове, што на ёй ёсць хоць адзін , які б выконваў ролю нейтральнага элемента.
Карыстаючыся тэорыяй , можна паказаць, што эліптычныя крывыя, вызначаныя над полем камплексных лікаў, адпавядаюць укладанням тора ў . Пунты тора таксама ўтвараюць абелеву групу, і па сутнасці, гэтая адпаведнасць з’яўляецца .
Эліптычныя крывыя асабліва важныя ў тэорыі лікаў і складаюць значную вобласць сучасных даследаванняў. Напрыклад, яны выкарыстоўваюцца ў доказе Вялікай тэарэмы Ферма, які быў праведзены Эндру Уайлсам (пры дапамозе Рычарда Тэйлара). Яны таксама знайшлі прыкладанні ў (ECC) і .
Эліптычная крывая — гэта не эліпс: гл. аб паходжанні тэрміна ў артыкуле . Тапалагічна камплексная эліптычная крывая ёсць тор.
Эліптычныя крывыя над полем рэчаісных лікаў frame|right|Графікі крывых y² = x³ − x і y² = x³ − x + 1 Хаця фармальнае азначэнне эліптычнай крывой даволі тэхнічнае і патрабуе некаторага ведання алгебраічнай геаметрыі, можна апісаць некаторыя асаблівасці эліптычных крывых над полем рэчаісных лікаў, карыстаючыся толькі ўніверсітэцкім курсам алгебры і геаметрыі.
У гэтым кантэксце, эліптычная крывая — гэта плоская крывая, вызначаная ўраўненнем віду
дзе a і b — рэчаісныя лікі. Такое ўраўненне называецца ўраўненнем Веерштраса.
Азначэнне эліптычнай крывой таксама патрабуе, каб крывая была несінгулярнай. Геаметрычна гэта значыць, што графік не мае , самаперасячэнняў і ізаляваных пунктаў. Алгебраічна гэта ўключае ў сябе вылічэнне дыскрымінанта
Крывая будзе несінгулярнаю, калі і толькі калі дыскрымінант не роўны нулю. (І хаця множнік −16 выглядае тут недарэчным, ён аказваецца зручным пры глыбейшым вывучэнні эліптычных крывых.)
Графік (на рэчаіснай плоскасці) несінгулярнай крывой мае дзве кампаненты, калі яе дыскрымінант дадатны, і адну кампаненту, калі ён адмоўны. Напрыклад, на графіках на рысунку справа дыскрымінант у першым выпадку роўны 64, а ў другім раўняецца −368.
Групавы закон Дабаўляючы «пункт на бесканечнасці», мы атрымліваем праектыўную версію эліптычнай крывой. Калі P і Q — два пункты на крывой (г.зн. іх каардынаты з’яўляюцца рашэннямі ўраўнення крывой), тады можна адназначна апісаць трэці пункт, які ляжыць на перасячэнні крывой з прамою, праведзенаю праз пункты P і Q. Звычайна існуе адзіны пункт на перасячэнні (калі прамая датыкаецца да крывой у пункце, тады гэты пункт трэба ўлічваць двойчы; а калі прамая паралельная восі y, трэці пункт вызначаецца як пункт «на бесканечнасці»).
Такім чынам, на крывой можна ўвесці групавую аперацыю, +, з наступнымі ўласцівасцямі: бесканечна аддалены пункт будзем разглядаць як 0, нейтральны элемент групы. Калі прамая лінія перасякае крывую ў пунктах P, Q і R, тады будзем лічыць, што ў групе гэтыя пункты звязаны роўнасцю P + Q + R = 0. Можна праверыць, што гэта ператварае крывую ў абелеву групу, і, такім чынам, у абелеву мнагастайнасць.
Няхай K — поле, над якім крывая вызначана (г.зн. каэфіцыенты ўраўнення, якое вызначае крывую, узятыя з поля K). Абазначым крывую цераз E. Тады K-рацыянальныя пункты крывой E з’яўляюцца пунктамі на E, усе каардынаты якіх ляжаць у K, уключаючы пункт на бесканечнасці. Мноства K-рацыянальных пунктаў абазначаецца як E(K). Яны таксама ўтвараюць групу, таму што ўласцівасці алгебраічных ураўненняў паказваюць, што калі P ляжыць у E(K), то і −P таксама ляжыць у E(K), і калі два з трох пунктаў P, Q і R ляжаць у E(K), то і трэці таксама там жа. Больш таго, калі K — падполе поля L, то E(K) — падгрупа групы E(L).
Вышэйназваную групу можна апісаць як алгебраічна, так і геаметрычна. Няхай зададзена крывая y² = x³ − px − q над полем K (характарыстыка якога не роўная ні 2, ні 3), і пункты P = (xP, yP) і Q = (xQ, yQ) на крывой. Будем лічыць, што xP ≠ xQ. Няхай s — нахіл прамой, праведзенай праз P і Q; г.зн.,
Паколькі K — поле, s вызначаны карэктна. Тады можна вызначыць R = P + Q = (xR, −yR) згодна з
Калі xP = xQ (трэцяя і чацвёртая карцінкі вышэй), то ёсць дзве магчымасці: калі yP = −yQ, уключаючы выпадак, дзе yP = yQ = 0, тады сума вызначаецца як 0; такім чынам, адваротны пункт для адвольнага пункта крывой атрымліваецца адлюстраваннем адносна восі x. Калі yP = yQ ≠ 0 (другая карцінка), тады R = P + P = 2P = (xR, −yR) вызначана па формулах
Спалучальнасць
right|Эліптычная група Усе групавыя законы, за выключэннем асацыятыўнасці, адразу ж вынікаюць з геаметрычнага азначэння групавой аперацыі. Анімацыя справа геаметрычна ілюструе закон спалучальнасці.
Варта заўважыць, што сума трох значэнняў на любой з шасці прамых раўняецца нулю. Становішча ўсіх дзевяці пунктаў вызначаецца эліптычнаю крывою, становішчам нуля, і пунктамі a, b і c. Цэнтральны пункт з дзевяці ляжыць на прамой, праведзенай праз a і b + c, а таксама на прамой праз a + b і c. Спалучальнасць закона складання раўназначная таму, што крывая праходзіць праз цэнтральны пункт «рашоткі». Адсюль вынікае роўнасць −(a + (b + c)) і −((a + b) + c).
На анімацыі эліптычная крывая і пункт нуль зафіксаваныя, тады як пункты a, b і c перамяшчаюцца па крывой незалежна адзін ад аднаго.
Эліптычныя крывыя над полем камплексных лікаў right|thumb|300px|Эліптычная крывая над полем камплексных лікаў атрымліваецца як фактар-група камплекснай плоскасці па рашотцы Λ, нацягнутай тут на два фундаментальныя перыяды ω1 і ω2. Таксама паказана 4-кручэнне, якое адпавядае рашотцы 1/4 Λ, якая ўтрымлівае рашотку Λ. Вытлумачэнне эліптычных крывых як укладанняў тора ў натуральным чынам вынікае з цікавай уласцівасці . Гэтыя функцыі і іх першая вытворная звязаныя формулай
дзе g2 і g3 — пастаянныя; — эліптычныя функцыя Веерштраса, а — яе вытворная. Відавочна, гэта сувязь выглядае дакладна так жа, як і ўраўненне эліптычнай крывой (над камплекснымі лікамі). Функцыі Веерштраса дваяка перыядычныя, г.зн. яны перыядычныя адносна Λ. Па сутнасці, функцыі Веерштраса натуральна вызначаюцца на торы T = C/Λ. Гэты тор можна ўкласці ў камплексную праектыўную плоскасць з дапамогаю адлюстравання
Гэтае адлюстраванне з’яўляецца і пераносіць натуральную структуру групы тора ў праектыўную плоскасць. Яно таксама з’яўляецца ізамарфізмам , так што тапалагічна эліптычная крывая выглядае як тор. Калі рашотка Λ звязана праз дамнажэнне на ненулявы камплексны лік c з рашоткаю cΛ, то адпаведныя крывыя ізаморфныя. Класы ізаморфных эліптычных крывых вызначаюцца па .
Класы ізаморфных крывых можна таксама вытлумачыць прасцейшым спосабам. Пастаянныя g2 і g3, якія называюцца , адназначна вызначаюцца па рашотцы, г.зн. па структуры тора. Аднак, камплексныя лікі ўтвараюць для мнагачленаў з рэчаіснымі каэфіцыентамі, і таму эліптычную крывую можна запісаць як
Можна паказаць, што
і
так што, роўны
Тут велічыня λ тут часам называецца .
Варта заўважыць, што паводле , кожную Рыманаву паверхню роду адзін можна прадставіць як тор.
Гэта таксама дазваляе лёгка зразумець, што такое на эліптычнай крывой: калі рашотка Λ нацягнута на фундаментальныя перыяды ω1 і ω2, то пункты n-кручэння — гэта пункты (класы эквівалентнасці) віду,
дзе a і b — цэлыя лікі з прамежку ад 0 да n−1.
Над полем камплексных лікаў кожная эліптычная крывая мае дзевяць . Кожная прамая праз два з гэтых пунктаў таксама праходзіць праз трэці пункт перагіну; дзевяць пунктаў і 12 прамых, праведзеных такім чынам, утвараюць .
Эліптычныя крывыя над полем рацыянальных лікаў Крывая E, вызначаная над полем рацыянальных лікаў, таксама вызначана над полем рэчаісных лікаў, і такім чынам, закон складання (пунктаў з рэчаіснымі каардынатамі) з дапамогаю датычнай і сякучай прамой можна прымяніць на E. Яўныя формулы паказваюць, што сума двух пунктаў P і Q з рацыянальнымі каардынатамі зноў мае рацыянальныя каардынаты, бо прамая, якая злучае P і Q мае рацыянальныя каэфіцыенты. Адсюль можна паказаць, што мноства рацыянальных пунктаў крывой E утварае падгрупу групы рэчаісных пунктаў крывой E. Як і гэтая група, яна з’яўляецца абелевай, г.зн. P + Q = Q + P.
Структура рацыянальных пунктаў Найважнейшы вынік заключаецца ў тым, што ўсе пункты можна пабудаваць па метаду датычных і сякучых, пачынаючы з канечнага ліку пунктаў. Больш дакладна сцвярджае, што група E(Q) з’яўляецца (абелевай) групай. Па фундаментальнай тэарэме аб канечнаспароджаных абелевых групах яна з’яўляецца прамою сумаю копій Z і канечных цыклічных груп.
Доказ гэтай тэарэмы абапіраецца на два складнікі: першы — паказваем, што для любога цэлага m > 1, фактар-група E(Q)/mE(Q) будзе канечнаю (слабая тэарэма Мордэла-Вейля). Другі — увядзенне h на рацыянальных пунктах E(Q), вызначанай згодна з суадносінамі h(P0) = 0 і для пункта P (не роўнага бесканечна аддаленаму пункту P0), абсцыса якога раўняецца рацыянальнаму ліку x = (з p і q). Функцыя вышыні h мае ўласцівасць, што h(mP) расце прыблізна як квадрат m. Больш таго, на крывой E існуе толькі канечная колькасць рацыянальных пунктаў з вышынямі, меншымі за адвольную пастаянную.
Такім чынам, доказ тэарэмы з’яўляецца варыянтам Гл. таксама J. W. S. Cassels, Mordell’s Finite Basis Theorem Revisited, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 100, 3-41 і каментарый А. Вейля аб стварэнні яго працы: A. Weil, Collected Papers, vol. 1, 520—521. і грунтуецца на паўтарэнні Еўклідавых дзяленняў на E: няхай P ∈ E(Q) — рацыянальны пункт на крывой. Запісваючы пункт P як суму 2P1 + Q1, дзе Q1 — прадстаўленне пункта P ў фактар-групе E(Q)/2E(Q), атрымліваем, што вышыня пункта P1 складае каля вышыні пункта P (больш агульна, пры замене 2 на любое m > 1, замест будзе ). Робячы тое самае з пунктам P1, г.зн. запісваем P1 = 2P2 + Q2, затым P2 = 2P3 + Q3, і г.д. канчаткова выражаем P як цэлалікавую лінейную камбінацыю пунктаў Qi і пунктаў, чыя вышыня абмежавана фіксаванаю пастаяннаю, выбранаю загадзя: па слабай тэарэме Мордэла-Вейля і другой уласцівасці функцыі вышыні пункт P такім чынам выражаецца як цэлалікавая лінейная камбінацыя канечнай колькасці фіксаваных пунктаў.
Тэарэма не эфектыўная, бо дагэтуль не знойдзена агульная працэдура вызначэння прадстаўнікоў групы E(Q)/mE(Q).
групы E(Q), г.зн. колькасць копій Z у E(Q) ці, што тое самае, колькасць незалежных пунктаў бесканечнага парадку, называецца рангам крывой E. Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера звязана з вызначэннем рангу. Існуе меркаванне, што ранг крывых можа быць адвольна вялікім, хаця вядомыя толькі прыклады адносна малога рангу. Эліптычная крывая з найбольшым дакладна вядомым рангам — такая: y² + xy + y = x³ − x² + x +
Яна мае ранг 19 і была знойдзена у 2009. Вядомыя таксама крывыя з рангам не менш чым 28, але іх ранг невядомы дакладна.