Цотнымі ці няцотнымі называюцца функцыі, чые графікі маюць пэўны тып сіметрыю адносна змянення знака аргумента. Гэта паняцце важнае ў многіх галінах матэматычнага аналізу, такіх як тэорыя ступенных радоў і радоў Фур'е.
Няцотная функцыя — функцыя, якая мяняе значэнне на процілеглае пры змене знака незалежнай зменнай (сіметрычная адносна цэнтра каардынат). Цотная функцыя — функцыя, якая не мяняе свайго значэння пры змене знака незалежнай зменнай (сіметрычная адносна восі ардынат). Ні цотная, ні няцотная функцыя (функцыя агульнага віду) — функцыя, якая не мае сіметрыі. Сюды адносяцца функцыі, якія не падыходзяць ні пад адно з папярэдніх двух азначэнняў. __TOC__
Строгае азначэнне Азначэнні ўводзяцца для любой сіметрычнай адносна нуля вобласці вызначэння , напрыклад, адрэзка ці прамежка. Функцыя называецца цотнаю, калі справядліва роўнасць
Функцыя называецца няцотнаю, калі справядліва роўнасць
Функцыі, якія не належаць ні адной з вышэйназваных катэгорый, называюцца ні цотнымі ні няцотнымі (ці функцыямі агульнага віду).
Уласцівасці
Графік няцотнае функцыі сіметрычны адносна пачатку каардынат . Графік цотнае функцыі сіметрычны адносна восі ардынат . Адвольную функцыю можна адназначна прадставіць як суму цотнай і няцотнай функцый:
дзе
Функцыя — адзіная функцыі, цотная і няцотная адначасова. Сума, рознасць і ўвогуле любая лінейная камбінацыя цотных функцый цотная, а няцотных — няцотная. Здабытак дзвюх функцый аднолькавае цотнасці цотны. Здабытак дзвюх функцый рознае цотнасці няцотны. Кампазіцыя дзвюх няцотных функцый няцотная. Кампазіцыя цотнае функцыі з цотнаю ці няцотнаю функцыяй цотная. Кампазіцыя любое функцыі з цотнаю цотная (але не наадварот!). Вытворная цотнае функцыі няцотная, а няцотнай — цотная. Інтэграл ад цотнае функцыі па сіметрычным адносна нуля прамежку роўны падвоенаму інтэгралу па палавіне прамежка:
Інтэграл ад няцотнае функцыі па сіметрычным адносна нуля прамежку роўны нулю:
Прыклады
Няцотныя функцыі
Няцотная ступень дзе — адвольны цэлы лік. Сінус . Тангенс .
Цотныя функцыі
Цотная ступень дзе — адвольны цэлы лік. Косінус . Абсалютная велічыня (модуль) .
Спасылкі
Катэгорыя:Элементарная матэматыка Катэгорыя:Тыпы функцый