Узвядзе́нне ў ступе́нь (ці падвышэ́нне да ступе́ні), або ступеняванне — арыфметычная аперацыя над двума лікамі: асновай b і пака́зчыкам (або ступе́нню) n. На пісьме ступеняванне пазначаецца як bn. Калі n ёсць натуральным лікам, ступеняванне адпавядае кратнаму (паўтаральнаму) множанню; інакш кажучы, b ў ступені n — гэта здабытак n множнікаў, кожны з якіх роўны b (такі здабытак таксама называецца ступенню):
Тут відаць падабенства з аперацыяй множання на натуральны лік, якая адпавядае кратнаму складанню:
Гістарычна, аперацыя ступенявання была спачатку вызначана для натуральных лікаў, і толькі потым, з цягам часу, яна была распаўсюджана на адмоўныя цэлыя ступені (увабраўшы ў сябе аперацыю кратнага дзялення), на рацыянальныя ступені (такім чынам, сюды была ўключана і аперацыя здабывання кораня). Пазней ступеняванне для адвольных рэчаісных ступеней было вызначана як непарыўны працяг з мноства рацыянальных ступеней.
Паказчык ступені звычайна запісваюць як надрадковы знак справа ад асновы. Запіс ступенявання bn можна чытаць наступным чынам: b ўзведзенае ў n-ую ступень, b ўзведзенае ў ступень n , b ў ступені n , або коратка, b ў n-ай.
Некаторыя ступені маюць свае ўласныя назвы: b² звычайна называюць квадра́там ліку b і чытаюць як b ў квадраце, b³ называецца ку́бам ліку b і чытаюць як b ў кубе.
Таксама варта падкрэсліць некаторую розніцу паміж тэрмінамі «ўзвядзенне ў ступень» і «ступеняванне»: словазлучэнне «ўзвядзенне ў ступень» ужываецца, калі паказчык ступені — сталая велічыня, а аснова — зменная. слова «ступеняванне» выкарыстоўваюць, калі маюць на ўвазе, што паказчык з’яўляецца зменнай велічынёй, а аснова нязменная. Аднак у якасці назвы аперацыі і ў выпадках, калі не трэба падкрэсліваць сталасць ці зменнасць аргументаў, аднолькава можна ўжываць і «ступеняванне», і «ўзвядзенне ў ступень».
Як адзначалася вышэй, ступень bn можна вызначыць і для адмоўных цэлых n, калі b не нуль. Не існуе натуральнага пашырэння ступенявання на ўсе рэчаісныя асновы b і паказчыкі n, аднак калі аснова b з’яўляецца дадатным рэчаісным лікам, ступеняванне bn можна вызначыць для ўсіх рэчаісных і нават камплексных паказчыкаў n з дапамогай паказнікавай функцыі ez. Трыганаметрычныя функцыі таксама можна выразіць праз камплекснае ступеняванне.
Ступеняванне матрыц выкарыстоўваецца пры развязанні сістэм лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў.
Ступеняванне паўсюдна сустракаецца ў шматлікіх мадэлях і вылічэннях у самых разнастайных галінах навукі і прамысловасці, сюды можна ўключыць фізіку (хвалі, ядзерны распад), хімію (хімічная кінетыка), біялогію (рост папуляцый), эканоміку (складаныя працэнты) і камп'ютарныя навукі (крыптаграфія з адкрытым ключом).
Цэлыя паказчыкі Для ступенявання з цэлымі паказчыкамі патрэбна толькі элементарная алгебра.
Натуральныя паказчыкі Фармальнае азначэнне:
Ступені з натуральным паказчыкам можна вызначыць з дапамогай пачатковай умовы
і зваротнай формулы .
Са спалучальнасці множання вынікае, што для любых натуральных m і n,
Адвольныя цэлыя паказчыкі Пры ненулявых b і натуральных n зваротныя суадносіны з папярэдняга падраздзела можна перапісаць у выглядзе
Лічачы гэтыя суадносіны справядлівымі да ўсіх цэлых n і ненулявых b, атрымліваем
ці больш агульна,
для любой ненулявой асновы b і любога цэлага паказчыка n.
Варта адзначыць наступнае: Любы лік у першай ступені роўны самому сабе. Любы ненулявы лік у нулявой ступені роўны адзінцы; нулявы паказчык можна вытлумачыць як пусты здабытак, г.зн. здабытак, які не мае множнікаў. Прыведзеныя вышэй роўнасці ніяк не вызначаюць выраз 00. Гэты выраз з’яўляецца нявызначанасцю і падрабязней разглядаецца ніжэй. Узвядзенне нуля ў адмоўную ступень прадугледжвала б дзяленне на нуль, таму нуль у адмоўнай ступені нявызначаны.
Тоеснасць
спачатку вызначаная толькі для натуральных m і n, спраўджваецца для адвольных цэлых m і n, з тым толькі абмежаваннем, што m і n павінны быць дадатнымі, калі b — нуль.
Камбінаторнае вытлумачэнне Для неадмоўных цэлых n і m, ступень роўная магутнасці мноства m-ак з n-элементнага мноства, або ліку ўсіх m-літарных слоў, якія можна ўтварыць з дапамогай азбукі, складзенай з n букваў.
| 05 = │ {} │ = 0 | Няма пяцёрак з пустога мноства (азбукі). |- | 14 = │ { (1,1,1,1) } │ = 1 | Існуе адзіная чацвёрка з адналітарнай азбукі. |- | 2³ = │ { (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2) } │ = 8 | Існуе восем троек з двухэлементнага мноства. |- | 3² = │ { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) } │ = 9 | Існуе дзевяць двоек з трохэлементнага мноства. |- | 41 = │ { (1), (2), (3), (4) } │ = 4 | Існуе чатыры адзінкі з чатырохэлементнага мноства. |- | 50 = │ { () } │ = 1 | Існуе адзінае пустое слова (з букваў любой азбукі).
Тоеснасці і ўласцівасці Калі аснова b не роўная нулю, наступныя тоеснасці спраўджваюцца для любых цэлых паказчыкаў m і n:
Ступеняванне не перастаўляльнае ў адрозненне ад складання і множання. Таму, увогуле кажучы:
Напрыклад, і , але , у той час як .
Ступеняванне не спалучальнае, тады як для складання і множання спалучальнасць ўласціва. У агульным выпадку:
Напрыклад, і , аднак 2³ ў 4-й ступені роўнае 84 або 4,096, а 2 ў ступені 34 роўнае 281 або 2 417 851 639 229 258 349 412 352.
Без дужак, якія змяняюць парадак вылічэнняў, па дамоўленасці парадак ступенявання зверху-ўніз, а НЕ знізу-ўверх.
Заўвага: У вышэйпрыведзенай формуле пра парадак вылічэнняў можна здагадацца дзякуючы адрозненням у памерах шрыфту, якім пададзеныя паказчыкі ступені. Тым не менш, дамоўленасць распаўсюджваецца і на радковыя запісы ўзору b^p^q = b^(p^q) ≠ (b^p)^q (такое адлюстраванне ўласціва камп’ютарным сістэмам алгебры).
Рацыянальныя паказчыкі
Корань n-й ступені з ліку b — такі лік x, n-ая ступень якога роўная b: .
Калі b — дадатны рэчаісны лік, а n — натуральны, тады існуе адзінае рэчаіснае рашэнне ўраўнення . Гэтае рашэнне называецца арыфметычным коранем ступені n з b. Ён абазначаецца як , дзе сімвал √ — так званы радыкал; іншым шляхам гэта можна запісаць як . Напрыклад: 41/2 = 2, 81/3 = 2.
Калі кажуць корань n-й ступені з дадатнага рэчаіснага ліку b, звычайна маюць на ўвазе арыфметычны корань n-й ступені.
Калі n — цотны, то ўраўненне мае два рэчаісныя рашэнні пры дадатным b: дадатны і адмоўны карані n-й ступені. Пры адмоўным b ураўненне не мае рашэнняў.
Пры няцотным n ураўненне мае адзінае рэчаіснае рашэнне. Яно дадатнае пры дадатным b і адмоўнае пры адмоўным b.
Няхай — нескарачальны дроб. Пры цотных m значэнне ступені дадатнае для любых рэчаісных b. Калі m і n абодва няцотныя, то знак ступені супадае са знакам асновы. Калі ж m няцотны, а n цотны, то значэнне ступені можа быць і дадатным, і адмоўным пры дадатным b.
Прыклады: (−27)1/3 = −3, (−27)2/3 = 9, а 43/2 мае два карані 8 і −8.
Калі b адмоўны, а n цотны, пры вызначэнні ступені даводзіцца выкарыстоўваць уяўную адзінку i, як апісана ніжэй у раздзеле Ступені камплексных лікаў. Прычынай гэтага з’яўляецца адсутнасць рэчаісных рашэнняў ураўнення x² = −1.
Такім чынам, ступень рэчаіснага ліку b з рацыянальным паказчыкам (нескарачальны дроб) можна вызначыць праз цэлую ступень і корань:
дзе m — цэлы лік, а n — натуральны лік.
Заўвага: ужываючы ступенныя тоеснасці ў выпадку адмоўнага значэння кораня n-ай ступені, нельга губляць пільнасці. Напрыклад: выснова −27 = (−27)((2/3)⋅(3/2)) = ((−27)2/3)3/2 = 93/2 = 27 відавочна няправільная. Праблема, з якой мы тут сутыкнуліся, заключаецца ў адвольнасці выбару нейкага аднаго значэння кораня з мноства магчымых яго значэнняў. Яшчэ выразней гэта ж праблема выяўляецца пры вызначэнні ступеней камплексных лікаў (гл. раздзел Няздатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей). З гэтай прычыны ў якасці значэння кораня n-ай ступені варта браць значэнне арыфметычнага кораня.
Рэчаісныя паказчыкі Прыведзеныя вышэй для цэлых паказчыкаў тоеснасці і ўласцівасці спраўджваюцца таксама і для дадатных рэчаісных лікаў з няцэлымі паказчыкамі. Аднак тоеснасць
нельга пашырыць на адмоўныя рэчаісныя асновы b (гл. Рэчаіснае ступеняванне з адмоўнымі асновамі). Непрыдатнасць гэтай тоеснасці ляжыць у аснове праблем са ступенямі камплексных лікаў, разгледжаных падрабязней у раздзеле Непрыдатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей.
Пашырэнне ступенявання на рэчаісныя паказчыкі можна ажыццявіць або непарыўна працягваючы рацыянальныя ступені да рэчаісных, або выкарыстоўваючы паказнікавую функцыю і адваротны ёй натуральны лагарыфм.
Граніцы рацыянальных ступеней А раз ірацыянальны лік можна прыблізіць рацыянальным, то ступеняванне дадатнага рэчаіснага ліку b с адвольным рэчаісным паказчыкам x можна вызначыць непарыўным працягам згодна з правілам
дзе граніца бярэцца па r, якія імкнуцца да x, прабягаючы рацыянальныя значэнні. Гэта граніца існуе толькі для дадатных b. З (ε, δ)-азначэння граніцы вынікае, што можна выбраць дастаткова малы прамежак вакол x так, што ўсе рацыянальныя ступені ўнутры яго будуць набліжаць рэчаісную ступень з патрэбнай дакладнасцю.
Напрыклад, няхай і . Тады каб атрымаць прамежкі, якія сцягваюцца да пункта і абмежаваныя рацыянальнымі ступенямі, (дзякуючы строгай манатоннасці рацыянальных ступеней) можна выкарыстаць бесканечнае дзесятковае прадстаўленне :
Гэтыя прамежкі збягаюцца да адзінага рэчаіснага ліку, абазначанага як . Гэты спосаб можна ўжываць для атрымання любой ірацыянальнай ступені ліку b. Такім чынам, функцыя вызначана для любога рэчаіснага ліку x.
Паказнікавая функцыя
Вядомая матэматычная сталая e (таксама вядомая як лік Ойлера і прыблізна роўная 2,718) з’яўляецца асновай натуральнага лагарыфма. І хоць ступеняванне ліку e можна разгледзець такім жа чынам, як і ступеняванне ўсіх іншых рэчаісных лікаў, такі падыход пакідае па-за ўвагай некаторыя прыгожыя і карысныя ўласцівасці. Сярод іншага, гэтыя ўласцівасці дазваляюць натуральным чынам абагульніць ступеняванне ліку e на іншыя віды паказчыкаў, такія як камплексныя лікі ці, нават, матрыцы.
Як вынік, запіс звычайна пазначае абагульненую паказнікавую функцыю , якую можна вызначыць некалькімі раўназначнымі спосабамі, напрыклад як:
Сярод іншых уласцівасцей функцыя задавальняе паказчыкавую тоеснасць:
Паказнікавая функцыя вызначана пры ўсіх цэлых, дробных, рэчаісных і камплексных значэннях x. Гэтае азначэнне можна выкарыстоўваць нават пры пашырэнні ступенявання на некаторыя нялікавыя велічыні, такія як квадратныя матрыцы (у гэтым выпадку паказчыкавая тоеснасць спраўджваецца, толькі калі x і y перастаўляльныя).
А раз , і функцыя задавальняе паказчыкавую тоеснасць, то адразу атрымоўваем, што азначэнне функцыі з дапамогай граніцы раўназначнае кратна-дамнажальнаму азначэнню для цэлых x, адсюль вынікае супадзенне пры ўсіх рацыянальных паказчыках, а далей праз непарыўнасць і пры ўсіх рэчаісных паказчыках.
Ступеняванне праз лагарыфмаванне Натуральны лагарыфм ln(x) з’яўляецца адваротнай функцыяй да паказнікавай функцыі ex. Ён вызначаны пры b > 0 і задавальняе тоеснасць
З лагарыфмічных і паказчыкавых тоеснасцей вынікае, што для любога рэчаіснага ліку x справядліва тоеснасць
Гэту тоеснасць можна выкарыстаць у якасці яшчэ аднаго азначэння рэчаіснай ступені bx, якое ўзгоднена з вышэй прыведзеным азначэннем, заснаваным на выкарыстанні рацыянальных паказчыкаў і непарыўнасці. Азначэнне ступенявання праз лагарыфмаванне шырока ўжываецца ў камплексным аналізе, гл. ніжэй.
Рэчаісныя ступені з адмоўнымі асновамі Ступені дадатных рэчаісных лікаў заўсёды з’яўляецца дадатнымі рэчаіснымі лікамі. Аднак ураўненне x² = 4 мае два рашэнні: 2 і −2. Галоўным, або арыфметычным, значэннем кораня 41/2 ёсць 2, але −2 таксама дапушчальнае значэнне квадратнага кораня. Такім чынам, тут узнікае неадназначнасць. І калі ў азначэнні ступенявання дазволіць выніку гэтай аперацыі прымаць адмоўныя значэнні, то паводзіны вызначанай так ступені становяцца цяжка апісальнымі і губляюць пры гэтым шматлікія карысныя ўласцівасці.