Лагары́фм ліку па аснове (ад — «слова», «дачыненне» і — «лік»Краткий словарь иностранных слов. М.: Русский язык, 1984.) — такое значэнне ступені, у якую трэба ўзвесці лік , т. зв. асно́ву, каб атрымаць значэнне . Запіс чытаецца як «лагарыфм па аснове ».
З азначэння вынікае, што знаходжанне раўназначнае рашэнню ўраўнення
Напрыклад, лагарыфм 1000 па аснове 10 роўны 3, бо 1000 ёсць 10 у ступені 3: 1000 = 10·10·10 = 10³.
Вылічэнне лагарыфма называецца лагарыфмава́ннем.
Лагарыфмы маюць цікавыя ўласцівасці, якія дазваляюць спрашчаць працаёмкія вылічэнні. Пры пераходзе «ў свет лагарыфмаў» множанне замяняецца на значна прасцейшае складанне, дзяленне — на адыманне, а ўзвядзенне ў ступень і здабыванне кораня ператвараюцца адпаведна ў множанне і дзяленне на паказчык ступені. Лаплас казаў, што вынаходніцтва лагарыфмаў, «скараціўшы працу астранома, падвоіла яго жыццё»Швецов К. И., Бевз Г. П. Справочник по элементарной математике. Арифметика, алгебра. Киев: Наукова Думка, 1966. § 40. Исторические сведения о логарифмах и логарифмической линейке.. У прыкладаннях аснова лагарыфма і лагарыфмуемы лік (аргумент лагарыфма) звычайна рэчаісныя. Тым не менш, існуе шэраг праблем (у тым ліку і прыкладных), дзе карысным аказваецца так званы камплексны лагарыфм.
Азначэнне лагарыфмаў і табліцу іх значэнняў (для трыганаметрычных функцый) упершыню надрукаваў у 1614 годзе шатландскі матэматык Джон Непер. Лагарыфмічныя табліцы, пашыраныя і ўдакладненыя іншымі матэматыкамі, паўсюдна выкарыстоўваліся ў навуковых і інжынерных разліках больш за тры стагоддзі, пакуль не з’явіліся электронныя вылічальныя машыны.
З цягам часу высветлілася, што лагарыфмічная функцыя незаменная і ў шмат якіх іншых галінах чалавечай дзейнасці: развязанні дыферэнцыяльных ураўненняў, вымярэнні фізічных велічынь (напрыклад, частаты і магутнасці гуку), прыбліжэнні розных залежнасцей, тэорыі інфармацыі, тэорыі імавернасцей і г. д. Гэта функцыя ўваходзіць у лік элементарных, лагарыфм адваротны да паказчыкавай функцыі. Часцей за ўсё выкарыстоўваюцца рэчаісныя лагарыфмы па аснове e (натуральны), 10 (дзесятковы) і 2 (двайковы).
Рэчаісны лагарыфм Лагарыфм па азначэнню ёсць рашэнне ўраўнення
Выпадак не вельмі цікавы, бо пры гэта ўраўненне не мае рашэння, а пры любы лік з’яўляецца рашэннем; у абодвух выпадках лагарыфм не вызначаны. Гэтак жа прыходзім да высновы, што лагарыфм не існуе пры нулявым і адмоўным ; акрамя таго, значэнне паказчыкавай функцыі заўсёды дадатнае, таму варта выключыць і выпадак адмоўнага . Канчаткова атрымліваем:
Як вядома, паказчыкавая функцыя (пры выкананні вышэйзгаданых умоў на ) вызначана, манатонная і кожнае значэнне прымае толькі адзін раз, прычым абсяг яе значэнняў утрымлівае ўсе дадатныя рэчаісныя лікіАлгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 229.. Адсюль вынікае, што значэнне рэчаіснага лагарыфма дадатнага ліку заўсёды вызначана і адзінае.
Найбольш шырокі ўжытак і шматлікія дастасаванні маюць наступныя віды лагарыфмаў: Натуральны: , аснова: лік Ойлера . Дзесятковы: , аснова: лік 10. Двайковы: або , аснова: 2. Яны ўжываюцца, напрыклад, у тэорыі інфармацыі, інфарматыцы, у многіх раздзелах дыскрэтнай матэматыкі.
Уласцівасці
Асноўная лагарыфмічная тоеснасць З азначэння лагарыфма вынікае асноўная лагарыфмічная тоеснасцьАлгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 233.:
Вывад: з роўнасці двух рэчаісных лагарыфмаў вынікае роўнасць лагарыфмаваных выразаў. Сапраўды, калі , то , адкуль, адпаведна асноўнай тоеснасці:
Лагарыфмы адзінкі і ліку, роўнага аснове
Арыфметычныя ўласцівасці лагарыфма
Лагарыфм здабытку:
Лагарыфм дзелі:
Лагарыфм ступені:
Лагарыфм кораня:
Калі аснова лагарыфма ёсць ступень некаторага выразу:
Доказ: Гэта тоеснасць атрымліваецца адразу, калі ад лагарыфма па аснове перайсці да лагарыфма па аснове .
Вынікі:
Яшчэ адна карысная тоеснасць:
Доказ: Каб даказаць яе, заўважым, што лагарыфмы ў левай і правай частках супадаюць па аснове , а тады, згодна з вынікам з асноўнай лагарыфмічнай тоеснасці, левая і правая часткі тоесна роўныя.
Існуе відавочнае абагульненне прыведзеных формул:
Формула для лагарыфма здабытку без цяжкасцей абагульняецца на адвольную колькасць сумножнікаў:
Апісанымі ўласцівасцямі і тлумачыцца, чаму выкарыстанне лагарыфмаў (да вынаходніцтва калькулятараў) істотна палягчала вылічэнні. Напрыклад, множанне шматзначных лікаў з дапамогай лагарыфмічных табліц адбывалася па наступнаму алгарытму: Знайсці ў табліцах лагарыфмы лікаў . Скласці гэтыя лагарыфмы, атрымаўшы такім чынам (згодна з первай уласцівасцю) лагарыфм здабытку . Па лагарыфму здабытку знайсці ў табліцах сам здабытак. Дзяленне, якое без дапамогі лагарыфмаў істотна больш працаёмкае чым множанне, выконвалася па таму ж алгарытму, толькі з заменай складання лагарыфмаў на адыманне. Гэтак жа спрашчаліся ўзвядзенне ў ступень і здабыванне кораня.
Замена асновы лагарыфма Ад лагарыфма па аснове можна перайсці да лагарыфма па другой аснове :
Вынік: перастаноўка асновы і лагарыфмуемага выразу:
Лагарыфмічная функцыя
Асноўныя уласцівасці
Калі разглядаць лагарыфмаваны лік як зменную, мы атрымаем лагарыфмічную функцыю . Яна вызначана пры . Абсяг вызначэння: . Абсяг значэнняў: . Гэта крывая часта называецца лагарыфмікай.
З формулы замены асновы лагарыфма відаць, што графікі лагарыфмічных функцый з рознымі асновамі, большымі за адзінку, адрозніваюцца адзін ад аднаго толькі расцяжэннем уздоўж восі :
Графікі для асноў і сіметрычныя адносна восі x. З азначэння вынікае, што лагарыфмічная функцыя адваротная да паказнікавай функцыі , таму іх графікі сіметрычныя адносна бісектрысы першага і трэцяга квадрантаў (гл. рысунак). Як і паказнікавая, лагарыфмічная функцыя трансцэндэнтная. Лагарыфмічная функцыя строга нарастае пры (гл. графікі) і строга спадае пры . Графік любой лагарыфмічнай функцыі праходзіць праз кропку . Функцыя непарыўная і бесканечна дыферэнцавальная ўсюды на сваім абсягу вызначэння. Вось ардынат з’яўляецца вертыкальнаю асімптотай для лагарыфмічнай функцыі, бо: пры пры
Вытворная лагарыфмічнай функцыі:
Першаісная лагарыфмічнай функцыі:
дзе — адвольная сталая.
З пункту гледжання алгебры, лагарыфмічная функцыя ажыццяўляе (адзіны магчымы) ізамарфізм групы адносна множання дадатных рэчаісных лікаў і групы адносна складання ўсіх рэчаісных лікаў. Іншымі словамі, лагарыфмічная функцыя з’яўляецца адзіным (вызначаным для ўсіх дадатных значэнняў аргумента) непарыўным рашэннем функцыянальнага ўраўнення:
Натуральны лагарыфм
Прыведзеная вышэй агульная формула вытворнай выглядае найпрасцей у выпадку натуральнага лагарыфма:
З гэтай прычыны ў матэматычных даследаваннях пераважна выкарыстоўваюць іменна натуральныя лагарыфмы. Яны нярэдка з’яўляюцца пры развязанні дыферэнцыяльных ураўненняў, даследаванні статыстычных залежнасцей (напрыклад, размеркавання простых лікаў) і пад.
Праінтэграваўшы формулу для вытворнай у прамежку ад да , атрымліваем:
Інакш кажучы, натуральны лагарыфм роўны плошчы пад гіпербалай на названым прамежку x.
Нявызначаны інтэграл ад натуральнага лагарыфма лёгка знайсці інтэграваннем па частках:
У матэматычным аналізе і тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў вялікую ролю адыгрывае паняцце лагарыфмічнай вытворнай функцыі :
Раскладанне ў рад і вылічэнне натуральнага лагарыфма Раскладзём натуральны лагарыфм у рад Тэйлара каля адзінкі:
Гэты рад збягаецца пры У прыватнасці:
Формула непрыдатная для практычнага вылічэння лагарыфмаў з-за таго, што рад збягаецца вельмі павольна і толькі на вузкім прамежку. Аднак нескладана атрымаць з яе зручнейшую формулу:
Гэты рад збягаецца хутчэй, і акрамя таго, цяпер левая частка формулы можа прадставіць лагарыфм любога дадатнага ліку.
Карыстацца апошняй формулай трэба так. Няхай — лік, лагарыфм якога трэба вылічыць.
1) З ураўнення
знаходзім :
2) Вылічанае значэнне падстаўляем у рад і атрымліваем значэнне .
Дадзены алгарытм ужо прыдатны да выкарыстання на практыцы пры вылічэнні значэнняў лагарыфмаў, аднак ён не найлепшы з пункту гледжання працаёмкасці. Існуюць больш дзейсныя алгарытмы.
Лімітавыя суадносіны Прывядзём некалькі карысных лімітаў, якія ўтрымліваюць лагарыфмы.
Іншыя ўласцівасці З тэарэмы Гельфонда вынікае, што калі — алгебраічныя лікі (), то або рацыянальны, або трансцэндэнтны. Пры гэтым лагарыфм рацыянальны і роўны толькі ў тым выпадку, калі лікі суадносяцца як .
Сума (частковая сума гарманічнага рада) пры вялікіх паводзіць сябе як , дзе — сталая Ойлера — Маскероні.
Камплексны лагарыфм
Вызначэнне і ўласцівасці
Для камплексных лікаў лагарыфм вызначаецца гэтак жа, як рэчаісны. На практыцы выкарыстоўваецца амаль выключна натуральны камплексны лагарыфм, які пазначаецца і вызначаецца як рашэнне ураўнення (іншыя, эквівалентныя дадзеным, варыянты вызначэння прыведзены ніжэй).
У полі камплексных лікаў рашэнне гэтага ўраўнення, у адрозненне ад рэчаіснага выпадку, не вызначана адназначна. Напрыклад, згодна з тоеснасцю Эйлера, ; аднак таксама . Гэта звязана з тым, што паказальная функцыя ўздоўж ўяўнай восі з’яўляецца перыядычнай (з перыядам ), і адно і тое ж значэнне функцыя прымае бясконца шмат разоў. Такім чынам, комплексная лагарыфмічная функцыя з’яўляецца шматзначнай.
Камплексны нуль не мае лагарыфма, паколькі камплексная экспанента не прыймае нулявога значэння. Ненулявое можна прадставіць у паказальнай форме:
Тады знаходзіцца па формуле:
Тут — рэчаісны лагарыфм, — адвольны цэлы лік. Адсюль выцякае:
Камплексны лагарыфм існуе для любога , і яго рэчаісная частка вызначаецца адназначна, у той час як уяўная частка мае бясконцае мноства значэнняў, якія адрозніваюцца на цэлае кратнае .
З формулы відаць, што ў аднаго і толькі аднаго са значэнняў уяўная частка знаходзіцца ў інтэрвале . Гэта значэнне называецца галоўным значэннем комплекснага натуральнага лагарыфма. Адпаведная (ужо адназначная) функцыя называецца галоўнай галіной лагарыфма і пазначаецца . Часам праз таксама пазначаюць значэнне лагарыфма, якое ляжыць не на галоўнай галіне. Калі — рэчаісны лік, то галоўнае значэнне яго лагарыфма супадае з звычайным рэчаісным лагарыфмам.
З прыведзенай формулы таксама вынікае, што рэчаісная частка лагарыфма вызначаецца наступным чынам праз кампаненты аргумента:
На малюнку паказана, што рэчаісная частка як функцыя кампанентаў цэнтральна-сіметрычна і залежыць толькі ад адлегласці да пачатку каардынатаў. Яна атрымліваецца кручэннем графіка рэчаіснага лагарыфма вакол вертыкальнай восі. З набліжэннем да нуля функцыя імкнецца да
Прыклады значэнняў комплекснага лагарыфма
Прывядзем галоўнае значэнне лагарыфма () і агульны яго выраз () для некаторых аргументаў:
Варта быць асцярожным пры пераўтварэннях комплексных лагарыфмаў, прымаючы пад увагу, што яны шматзначныя, і таму з роўнасці лагарыфмаў якіх-небудзь выразаў не варта роўнасць гэтых выразаў. Прыклад памылковай развагі:
— відавочная памылка.
Адзначым, што злева варта галоўнае значэнне лагарыфма, а справа — значэнне з ніжэйшай галіны (). Прычына памылкі — неасцярожнае выкарыстанне ўласцівасці , якая, наогул кажучы, мае на ўвазе ў комплексным выпадку ўвесь бясконцы набор значэнняў лагарыфма, а не толькі галоўнае значэнне.
Камплексная лагарыфмічная функцыя і рыманавая паверхня
У камплексным аналізе замест разгляду мнагазначных функцый на камплекснай плоскасці прынята іншае рашэнне: разглядаць функцыю як адназначную, але вызначаную не на плоскасці, а на больш складанай разнастайнасці, якоая называецца рыманавай паверхняй. Камплексная лагарыфмічная функцыя таксама адносіцца да гэтай катэгорыі: яе вобраз складаецца з бясконцага ліку галін, закручаных ў выглядзе спіралі. Гэтая паверхню бесперапынная і аднасувязная. Адзіны нуль у функцыі (першага парадку) атрымліваецца пры . Асаблівыя пункты: і (пункты разгалінавання бясконцага парадку).
У сілу аднасувязнасці рыманавая паверхня лагарыфма з’яўляецца універсальнай накрываючай для камплекснай плоскасці без пункту .
Аналітычны працяг