Dizse qu'un sistema cualesquier , mecánicu, llétricu, neumáticu, etc., ye un oscilador harmónicu si, cuando se dexa en llibertá fuera de la so posición d'equilibriu, vuelve escontra ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales amortiguadas alredor de dicha posición estable.
derecha|La masa colgao del resorte forma un oscilador harmónicu. L'exemplu ye'l d'una masa colgada a un resorte. Cuando s'alloñar la masa de la so posición de reposu, el resorte exerz sobre la masa uno fuercia que ye proporcional al desequilibriu (distancia a la posición de reposu) y que ta dirixida escontra la posición d'equilibriu. Si suelta la masa, la fuercia del resorte acelera la masa escontra la posición d'equilibriu. A midida que la masa averar a la posición d'equilibriu y qu'aumenta el so velocidá, la enerxía potencial elástica del resorte tresformar n'enerxía cinética de la masa. Cuando la masa llega a la so posición d'equilibriu, la fuercia va ser cero, pero como la masa ta en movimientu, va siguir y va pasar del otru llau. La fuercia inviértese y empieza a frenar la masa. La enerxía cinética de la masa va tresformándose agora n'enerxía potencial del resorte hasta que la masa párase. Entós esti procesu vuelve producise en direición opuesta completando una oscilación.
Si tou la enerxía cinética tresformar n'enerxía potencial y viceversa, la oscilación siguiría eternamente cola mesma amplitú. Na realidá, siempres hai una parte de la enerxía que se tresforma n'otra forma, por cuenta de la mafa del aire o porque'l resorte nun ye perfectamente elásticu. Con éses l'amplitú del movimientu va menguar más o menos amodo col pasu del tiempu. Empezará tratándose el casu ideal, nel cual nun hai perdes. va analizase'l casu unidimensional d'un únicu oscilador (pa la situación con dellos osciladores, vease movimientu harmónicu complexu).
Caso
Oscilador harmónicu ensin perdes
va denominase a la distancia ente la posición d'equilibriu y la masa, a la que se-y apoderara . va suponese que la fuercia del resorte ye puramente proporcional al desequilibriu: (llei de Hooke). ye la fuercia y la constante elástica del resorte. El signu negativu indica que cuando ye positiva la fuercia ta dirixida escontra les negatives.
La Lleis de Newton#Segunda Llei de Newton o Llei de la Fuercia segundo llei de Newton diznos:
remplazando la fuercia llogramos:
La solución d'esta ecuación diferencial ordinaria ye inmediata: les úniques funciones reales (non complexes) que la so segunda derivada ye la mesma función col signu invertíu son senu y cosenu. Les dos funciones correspuenden al mesmu movimientu. Escoyemos arbitrariamente "cosenu". La solución escríbese: derecha| La curva de riba da la posición del oscilador en función del tiempu. La del mediu da la velocidá. Embaxo tán les curves de les enerxíes. N'azul ta la enerxía cinética y en colloráu la enerxía potencial del resorte
ye la elongación o estrema respectu al estáu d'equilibriu, les sos unidaes son les de . ye l'amplitú, máxima diferencia al respective de la posición d'equilibriu. ye la pulsación (o frecuencia angular) y la frecuencia. ye'l tiempu. ye la fase inicial (pa ). Ye fácil comprobar que'l valor de ye:
El periodu d'oscilación ye:
Como yá diximos, mientres un cuartu d'una oscilación la enerxía potencial tresformar n'enerxía cinética. Mientres otru cuartu, la enerxía cinética tresformar n'enerxía potencial. Na figura de la derecha trazóse la posición en función del tiempu (curva de riba), la velocidá en función del tiempu (en mediu) y les enerxíes potencial y cinéticu (embaxo).
Oscilador harmónicu amortiguado derecha|Oscilador harmónicu con amortiguador. La fuercia mafoso ye proporcional a la velocidá. Ye'l casu d'esfregadures secos: la fuercia nun depende nin de la velocidá nin de la posición. Otra situación que se produz na realidá ye que la fuercia sía proporcional a la velocidá elevada a una potencia, entera o non. Asina asocede cuando la fuercia que frena provién de la mafa o de les perdes aerodinámiques. va tratase namái'l casu más simple, esto ye, cuando la fuercia sía proporcional a la velocidá. Nesti casu la fuercia va ser:
Onde ye un coeficiente que mide l'amortiguamientu por cuenta de la mafa. Si ye pequeñu, el sistema ta pocu amortiguado. Nótese'l signu negativu qu'indica, como antes, que si la velocidá ye positiva, la fuercia tien la direición cimera opuesta a la velocidá de la partícula. Con esti términu complementariu la ecuación diferencial del sistema ye:
Trátase d'una ecuación diferencial ordinaria, llinial, de segundu ordeSimmons, capítulu 3 (contién derivaes segundes) y homoxénea (nun hai términu independiente de ). Tien tres tipos de soluciones según el valor de : Si el sistema ta sobreamortiguado (amortiguamientu fuerte o supercrítico) Si el sistema tien amortiguamientu críticu. Si el sistema bazcuya con amplitú decreciente (amortiguamientu débil o subcrítico)
Oscilador sobreamortiguado derecha|Posición en función del tiempu d'un oscilador harmónicu amortiguado. curva azul: amortiguamientu críticu. curva colorada: amortiguamientu doble que'l críticu. curva verde: amortiguamientu igual a 90% del amortiguamientu críticu. Nesti casu'l sistema nun ye realmente un oscilador, yá que nun bazcuya. La solución ye de la forma:
onde los coeficientes de les esponenciales son menores que cero y reales (polo que nun hai oscilación):
y ::
y dependen de les condiciones iniciales (esto ye, de la situación del sistema pa ). La posición nun ye trémbole y tiende escontra la posición d'equilibriu de manera asintótica. Los dos esponenciales decrecientes de les soluciones tienen constantes de tiempu distintos. Una ye pequeña y correspuende a la rápida cancelación del efeutu de la velocidá inicial. La segunda ye más grande y describe el lentu enclín escontra la posición d'equilibriu.
Oscilador con amortiguamientu críticu Esti casu ye la llende ente un sistema trémbole y uno non trémbole. Asocede cuando ::
La solución única ye:
como antes, y son constantes que dependen de les condiciones iniciales.
L'amortiguamientu críticu correspuende al enclín más rápidu escontra la situación d'equilibriu cuando nun devasa esa posición. Si menguar un pocu l'amortiguamientu'l sistema avérase más rápido a la posición d'equilibriu, pero devasando la posición bazcuya alredor de esi puntu (tomando valores positivos y negativos).
Oscilador con amortiguamientu débil derecha|Oscilaciones amortiguadas. L'amplitú de la sinusoide ta controlada pola esponencial. Nesti casu, que ye más interesante, tenemos un oscilador que bazcuya alredor de la posición d'equilibriu con amplitú decreciente. Asocede cuando:
La solución ye:
como antes, y son constantes que dependen de les condiciones iniciales. La pulsación ye:
La pulsación del sistema amortiguado ye un pocu menor que la pulsación del sistema non amortiguado porque la fuercia que lo amortigua, frena la masa y retárdalo.
La oscilación del sistema ta descrita por una sinusoide de frecuencia que la so amplitú ta multiplicada por una esponencial decreciente que la so constante de tiempu ye .
Factor calidable Q Nun sistema pocu amortiguado ye interesante definir el factor calidable (Quality factor n'inglés) o a cencielles Q como:
esta cantidá ye igual a vegaes l'inversu de les perdes relatives d'enerxía per periodu. Asina, un sistema que pierde 1% d'enerxía a cada ciclu, va tener un Q de 628. Más interesante, Q ye tamién vegaes el númberu d'oscilaciones que'l sistema fai mientres la so amplitú estremar por un factor . Si puede aceptase un aproximamientu más porcaz, Q ye 3 vegaes el númberu d'oscilaciones qu'un sistema fai mientres la so amplitú cai a 1/3 de l'amplitú inicial.
Como exemplos, el Q d'un vehículu colos amortiguadores en bon estáu ye un pocu más grande que 1. El Q d'una cuerda de guitarra ye de dellos miles. El Q de los cristales de cuarzu utilizaos en electrónica como referencia de frecuencia ye l'orde de 1 millón. Una copa de vidriu ordinariu tien un Q muncho más pequeñu qu'una copa de vidriu de plomu (cristal).
Oscilaciones forzaes Podemos empecipiar el movimientu un oscilador harmónicu moviéndolo de la so posición d'equilibriu y abandonándolo a la so oscilación llibre (ver párrafos precedentes).
Alternativamente, podemos aplica-y una fuercia que la so intensidá varie de manera sinusoidal col tiempu. Nesta situación, la ecuación diferencial llinial ye inhomogénea. La solución a esti tipu d'ecuación ta formada por dos términos: la solución xeneral del sistema homoxéneu más una solución particular del casu inhomogéneo.Simmons, páxines 84-87 Poro, la solución ta formada por dos partes, una parte transitoria (que s'anula pasáu ciertu tiempu), similar a les que vimos nos párrafos precedentes, más una parte estacionaria. La solución de la parte transitoria ye la mesma la que yá vimos (ecuación homoxénea). Les úniques diferencies son les condiciones inicial y final, que nun son idéntiques. Vamos interesanos a la solución estacionaria. Na ecuación diferencial del sistema hai qu'añader la fuercia sinusoidal:
Pa resolver esta ecuación ye más interesante utilizar el mesmu métodu que en lletricidá y electrónica. Pa ello, añader a encomalo real una fuercia imaxinaria. Como n'electrónica, utilízase en llugar de i. Agora la ecuación a resolver ye:
Pero de xacíu, como en lletricidá, namái la parte real de y va ser d'interés. La solución ye inmediata:
Si derívase esta espresión y sustitúyese na ecuación diferencial, atópase'l valor d'A:
Pero A pue escribise como y la solución de complexa ye:
El valor de real ye la parte real de la espresión precedente:
onde ye'l módulo de y el so argumentu:
Como en lletricidá, l'ángulu da'l desfase del movimientu con al respective de la fuercia esterno. Si ye positivu, el movimientu ta en meyora de fase y si ye negativu'l movimientu ta en retardo de fase. Nesti casu'l desfase va ser siempres negativu.
Respuesta en frecuencia L'amplitú de les oscilaciones forzaes va depender, poques gracies, de l'amplitú de la fuercia esterno. Pero pa una mesma amplitú de la fuercia, l'amplitú de la oscilación va depender tamién de la frecuencia. Veamos como varia l'amplitú con . Utilizando la definición de frecuencia propia del sistema (ensin amortiguamientu nin fuercia esterno): derecha|Respuesta en frecuencia d'un oscilador harmónicu. A la frecuencia de resonancia, l'amplitú ye Q vegaes más grande qu'a bien baxa frecuencia.
puede escribise:
Si amás utilízase la definición de , llógrase:
Nel dibuxu de derecha representóse l'amplitú de la oscilación forzada en función de la frecuencia pa dellos valores del factor calidable Q. A bien baxa frecuencia l'amplitú ye la mesma que si la fuercia fora estática , y el sistema va bazcuyar ente les posiciones y . Cuando la frecuencia aumenta, l'amplitú tamién, algamando un máximu cuando la frecuencia d'escitación ye igual a la frecuencia propia del sistema. A esa frecuencia propia tamién se-y llama frecuencia de resonancia. Tamién se diz qu'un sistema escitáu a una frecuencia próxima a la frecuencia de resonancia "resona" o "entra en resonancia". A la frecuencia de resonancia, l'amplitú de les oscilaciones va ser Q vegaes más grande que la que se llogra en baxa frecuencia.
L'anchu del picu de resonancia a mediu altor, ye dicir cuando l'amplitú ye igual a la metá del máximu, ye igual a la frecuencia de resonancia estremada por Q. Esi anchu tamién se llama banda pasante.
Oscilador forzáu y caos L'oscilador harmónicu non alteriáu nuna dimensión ye un exemplu de sistema integrable, con comportamientu regular. Sicasí, l'oscilador harmónicu venáu puede presentar un comportamientu teoría del caos caóticu carauterizáu por un atractor estrañu. Por casu nel casu d'una perturbación de tipu la ecuación de movimientu ye:
Esti sistema ye non integrable y el movimientu tiende rápido escontra'l llamáu atractor de Duffing.Atractor de Duffing
Oscilador de van der Pol