frame|right|Cuatro exemplos y dos anti-exemplos de topoloxíes nel conxuntu de tres puntos {1,2,3}. L'exemplu inferior esquierdu nun ye una topoloxía porque la unión {2} y {3}, igual a {2,3}, nun ye parte de la coleición. L'exemplu inferior derechu tampoco ye una topoloxía porque la interseición de {1,2} y {2,3}, igual a {2}, nun ye parte de la coleición. Un espaciu topolóxicu ye una estructura matemática que dexa la definición formal de conceutos como converxencia, conectividad, continuidá, vecindá, usando soconxunto d'un conxunto dau.Kuratowski: "Introducción a la teoría de conxuntos y a la topoloxía2 La caña de les matemátiques qu'estudia los espacios topolóxicos llámase topoloxía. Les variedaes, al igual que los espacios métricos son especializaciones d'espacios topolóxicos con restricciones y estructures propies.
Definición Formalmente, llámase espaciu topolóxicu al par ordenáu (X,T) formáu por un conxunto X y una topoloxía T sobre X, esto ye, una coleición de soconxuntos de X que cumplen les tres propiedaes siguientes:
El conxunto vacíu y X tán en T.
La interseición de cualesquier subcolección finita de conxuntos de T ta en T.
La unión de cualesquier subcolección de conxuntos de T ta en T.Munkres, James R. TopoloxíaPearson Prentice Hall, Madrid 2002 ISBN 978-84-205-3180-9
Esta condición tamién s'escribe, formalmente:Pa esti casu y los axomes anteriores, consultar en "Topoloxía" de Munkres ISBN 978-84-205-3180-9
A los conxuntos pertenecientes a la topoloxía T llámase-yos conxuntos abiertos o a cencielles abiertos de (X,T) ;M. García Marrero y otros. Topoloxía Alhambra ISBN 84-205-0557-9 (obra completa) y a los sos complementos en Y, conxuntos zarraos.
Exemplos Topoloxía trivial o indiscreta: ye la formada por y . Topoloxía discreta: ye la formada pol conxunto de les partes de . Topoloxía de los complementos finitos: ye la formada por y los conxuntos de , que los sos complementarios son finitos. Topoloxía de los complementos numerables: ye la formada por y los conxuntos de , que los sos complementarios son numerables. R, conxunto de los reales, y T el conxunto de los intervalos abiertos nel sentíu avezáu, y de les xuntes (cualesquier) d'intervalos abiertos.Nesti casu un conxunto ye abiertu si pa tou puntu d'él esiste un intervalu abiertu que contién al puntu y dichu intervalu abiertu ye parte del mentáu abiertu.Mansfield: Introducción a la topoloxía, ISBN 84-205-0450-5 Recta de Sorgenfrey: la recta real xunto cola topoloxía de la llende inferior. La topoloxía de Sierpinski ye la coleición T = {∅, {0}, X} sobre X = {0,1} y el par (X,T) llámase espaciu de Sierpinski.Kelley: Topoloxía xeneral Eudeba, Buenos Aires Una topoloxía T sobre X, usando delles partes d'A, que ye parte mesma de X. El par (X,T ) ye un espaciu topolóxicu que los sos abiertos son ciertes partes d'A y el conxunto X. Pa esti casu X = {a,b,c,d}; A ={a,b,c}; T = { ∅,{a}, {a,b}, {a,b,c}, X} ye una topoloxía sobre X.Los elementos de T satisfaen los axomes de definición d'una topoloxía sobre un con xuntu non vacíu
Espacios metrizables
Toa métrica dexa definir de manera natural nun espaciu la topoloxía formada poles unión arbitraries de boles de centru y radio :
Esta topoloxía averar a la noción intuitiva de conxunto abiertu, dexando un aproximamientu de calter llocal a la topoloxía.
En cuenta de considerar tol conxunto, el puntu de vista local consiste en preguntar: ¿qué rellación tien qu'haber ente un puntu a cualesquier d'A, y A por que A seya un abiertu? right Si considérase l'exemplu más conocíu, el de los intervalos, unu dase cuenta de que los intervalos abiertos son los que nun contienen puntos nel so frontera o cantu, que son puntos en contautu al la vegada con A y col so complementariu R - A.
N'otres pallabres, un puntu d'un abiertu nun ta direutamente en contautu col "esterior".
Nun tar en contautu significa intuitivamente qu'hai una cierta distancia ente'l puntu y l'esterior; llamémosla d. Entós la bola B (a, d/2), de radio d/2 y de centru a ta incluyida n'A y nun toca'l complementariu. Na figura, a ta nel interior d'A, ente que b ta na so frontera, porque cualquier vecindá de b atopa R - A.
Al falar de alloña, utilizamos un conceutu de los espacios métricos, que son más intuitivos pos correspuenden al mundu real (asimilable a R³). En topoloxía, tenemos que camudar el conceutu de bola pol, más xeneral, de vecindá o redolada. Una vecindá d'un puntu x ye esti puntu con daqué del so alredor. Tenemos entera llibertá pa definir el significáu de "alredor" y "vecindá" con tal de satisfacer los axomes siguientes: x pertenez a toles sos vecindaes. Un conxunto que contién una vecindá de x ye una vecindá de x. La interseición de dos vecindad de x ye tamién una vecindá de x. En toa vecindá V de x esiste otra vecindá O de x tal que V ye una vecindá de tolos puntos d'O.
Llamamos abiertu un conxuntu que ye una vecindá pa tolos sos puntos.
Los axomes espuestos nel puntu de vista global tán verificaos: Y ye obviamente una vecindá pa tolos sos puntos, y ∅ tamién porque nun contién puntu. (Una propiedá universal: pa tou x... ye por fuercia cierta nel conxunto vacíu.) Una unión d'abiertos Oi ye un superconjunto de cada Oi, y Oi ye una vecindá de tolos sos puntos, poro, la unión ye una vecindá de tolos sos puntos, gracies a la propiedá (2). Sía x un puntu de la interseición de los abiertos O1 y O2. O1 y O2 son abiertos que contienen x y polo tanto vecindaes d'él. Una interseición de vecindaes de x ye una vecindá de x (propiedá 3), lo qu'implica qu'O1 O2 ye una vecindá de tolos sos puntos, y polo tanto un abiertu.
Propiedaes d'un espaciu topolóxicu
Compacidad Conectividad Axomes de separación
Ver tamién Glosariu de topoloxía Topoloxía
Referencies
Bibliografía Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.
Espacios Métricos y Topolóxicos (Wikilibro)