La lóxica matemática, tamién llamada lóxica simbólica, lóxica teorética, lóxica formal, o loxística,Evandro Agazzi, 1986. ye parte tantu de la lóxica como de la matemática, y consiste nel estudiu matemáticu de la lóxica, y na aplicación de dichu estudio a otres árees de la matemática y de les ciencies. La lóxica matemática tien estreches conexones coles ciencies de la computación y cola lóxica filosófica.
La lóxica matemática estudia los sistemes formales en rellación cola manera nel que codifican o definen nociones intuitives d'oxetos matemáticos como conxuntos, númberos, demostraciones, y algoritmos, utilizando un llinguaxe formal.
La lóxica matemática suelse estremar en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conxuntos y teoría de la recursión. La investigación en lóxica matemática xugó un papel fundamental nel estudiu de les matemátiques.
La lóxica matemática nun ye la lóxica de les matemátiques» sinón la matemática de la lóxica». Inclúi aquelles partes de la lóxica que pueden ser modelaes y estudiaes matemáticamente.
La lóxica matemática entiende dos árees d'investigación distintes: la primera ye l'aplicación de les téuniques de la lóxica formal a les matemátiques y el razonamientu matemáticu y la segunda, na otra direición, l'aplicación de téuniques matemátiques a la representación y l'analís de la lóxica formal.
Si la teoría de la demostración y la teoría de modelos fueron el fundamentu de la lóxica matemática, nun fueron más que dos de los cuatro pilastres del suxetu. La teoría de conxuntos aniciar nel estudiu del infinitu por Georg Cantor y foi la fonte de munchos de les temes más griespes ya importantes de la lóxica matemática, a partir del teorema de Cantor, al traviés del estatus del axoma d'elección y la cuestión de la independencia de la hipótesis del continuu, al alderequier modernu sobre grandes axomes cardinales.
La teoría de la recursión prinda la idea de la computación en términos lóxicos y aritméticos. Los sos llogros más clásicos son la indecidibilidad del Entscheidungsproblem d'Alan Turing y la so presentación de la tesis de Church-Turing. Anguaño, la teoría de la recursión ocúpase principalmente del problema más refináu de les clases de complexidá (¿cuándo ye un problema eficientemente solucionable?) y de la clasificación de los graos de insolubilidad.
Historia L'usu más tempranu de matemátiques y de xeometría en rellación cola lóxica y la filosofía remontar a los griegos antiguos tales como Euclides, Platón, y Aristóteles. Munchos otros filósofos antiguos y medievales aplicaron idees y métodos matemáticos a les sos afirmaciones filosófiques.
Nel sieglu XVIII fixeron dellos intentos de tratar les operaciones lóxiques formales d'una manera simbólica per parte de dellos filósofos matemáticos como Leibniz y Lambert, pero'l so llabor permaneció desconocida y aisllada.
Sieglu XIX A partir de la segunda metá del sieglu XIX, la lóxica sería revolucionada fondamente. En 1847, George Boole publicó un curtiu tratáu tituláu L'analís matemáticu de la lóxica, y en 1854 otru más importante tituláu Les lleis del pensamientu. La idea de Boole foi construyir a la lóxica como un cálculu nel que los valores de verdá representar por aciu el F (falsedá) y la V (verdá), y a los que se-yos apliquen operaciones matemátiques como la suma y la multiplicación.
Nel postreru terciu del sieglu XIX la lóxica va atopar el so tresformamientu más fondu de la mano de les investigaciones matemáticu y lóxicu, xunto col desenvolvimientu de la investigación de les estructures fondes del llinguaxe, la llingüística, convirtiéndose definitivamente nuna ciencia formal. Ye una ciencia formal, yá que estudia les idees y constitúi una ferramienta conceptual pa toles otres ciencies y árees de la conocencia. y forma parte d'un conxuntu sistemáticu de conocencies racionales y coherentes, que s'ocupen del estudiu de los procesos lóxicos y matemáticos,
Coles mesmes, Augustus De Morgan publica en 1847 la so obra Lóxica formal, onde introduz les lleis de De Morgan ya intenta xeneralizar la noción de siloxismu. Otru importante contribuyente inglés foi John Venn, quien en 1881 publicó'l so llibru Lóxica Simbólica, onde introdució los famosos diagrames de Venn.
Charles Sanders Peirce y Ernst Schröder tamién fixeron importantes contribuciones.
Sicasí, la verdadera revolución de la lóxica vieno de la mano de Gottlob Frege, quien frecuentemente ye consideráu como'l lóxicu más importante de la hestoria, xunto con Aristóteles. Nel so trabayu de 1879, la Conceptografía, Frege ufierta per primer vegada un sistema completu de lóxica de predicaos y cálculu proposicional. Tamién desenvuelve la idea d'un llinguaxe formal y define la noción de prueba. Estes idees constituyeron una base teórica fundamental pal desenvolvimientu de los ordenadores y les ciencies de la computación, ente otres coses. Magar esto, los contemporáneos de Frege pasaron per alto les sos contribuciones, probablemente por causa de la complicada notación que desenvolvió l'autor. En 1893 y 1903, Frege publica en dos volúmenes Les lleis de l'aritmética, onde intenta deducir tola matemática a partir de la lóxica, no que se conoz como'l proyeutu loxicista. El so sistema y la so aplicación a la teoría de conxuntos, sicasí, contenía una contradicción (la paradoxa de Russell).
Lóxica matemática foi'l nome dau por Giuseppe Peano pa esta disciplina. N'esencia, ye la lóxica d'Aristóteles, pero dende'l puntu de vista d'una nueva notación, más astracta, tomada del álxebra.
Sieglu XX El sieglu XX sería unu d'enormes desarrollos en lóxica. A partir del sieglu XX, la lóxica pasó a estudiase pol so interés intrínsecu, y non yá poles sos virtúes como propedéutica, polo que s'estudió a niveles muncho más astractos.
En 1910, Bertrand Russell y Alfred North Whitehead publiquen Principia mathematica, un trabayu monumental nel que llogren gran parte de la matemática a partir de la lóxica, evitando cayer nes paradoxes nes que cayó Frege. Suponíase que les teoríes matemátiques yeren tautoloxíes lóxiques, y el programa tenía d'amosar esto per mediu d'un amenorgamientu de la matemática a la lóxica. Los autores reconocen el méritu de Frege nel prefaciu. En contraste col trabayu de Frege, Principia mathematica tuvo un ésitu atayante, y llegó a considerase unu de los trabayos de non ficción más importantes ya influyentes de tol sieglu XX. Principia mathematica utiliza una notación inspirada na de Giuseppe Peano, parte de la cual inda ye bien utilizada anguaño.
En 1912 C. I. Lewis publica Conditionals and the Algebra of Logic, xusto dempués de los Principia Mathematica de Russell y Whitehead. En 1918 publica A Survey of Symbolic Logic onde propón un nuevu condicional más fayadizu pa recoyer el significáu de la espresión "si... entós" del llinguaxe natural. Lewis llamar implicación estricta. El nuevu condicional requier, pa ser verdaderu, una rellación más fuerte ente l'antecedente y el consecuente que'l condicional clásicu.
En 1920 David Hilbert propunxo de forma esplícita un proyeutu d'investigación (en metamatemática, como se llamó entós) qu'acabó siendo conocíu como programa de Hilbert. Quería que la matemática fora formulada sobre unes bases sólides y dafechu lóxiques. El proyeutu foi refutado polos polos teoremes d'incompletitú de Gödel. Tanto la declaración del programa de Hilbert como'l so refutación por Gödel dependíen del so trabayu estableciendo'l segundu ámbitu de la lóxica matemática, l'aplicación de les matemátiques a la lóxica na forma de la teoría de la demostración. A pesar de la naturaleza negativa de los teoremes de la incompletitud, el teorema de la complexidá de Gödel, un resultáu na teoría de modelos y otra aplicación de les matemátiques a la lóxica, pue ser entendíu como una demostración del logismo cercanu: toa teoría matemática rigorosamente definida pue ser prindada esautamente por una teoría de primer orde. El cálculu de la prueba de Frege ye abonda pa describir tola matemática, anque nun sía equivalente a ella.
L'orixe de los modelos astractos de computación encuadrar nos años '30 ( primero qu'esistieren los ordenadores modernos), nel trabayu de los lóxicos Alonzo Church, Kurt Gödel, Stephen Kleene, Emil Leon Post, Haskell Curry y Alan Turing. Estos trabayos iniciales tuvieron una fonda influencia, tantu nel desenvolvimientu teóricu como n'abondosos aspeutos de la práutica de la computación; previendo inclusive la esistencia d'ordenadores de propósitu xeneral, la posibilidá d'interpretar programes, la dualidá ente software y hardware, y la representación de llinguaxes por estructures formales basaos en regles de producción.
La deducción natural foi introducida por Gerhard Gentzen nel so trabayu Investigaciones sobre la inferencia lóxica (Untersuchungen über das logische Schliessen), publicáu en 1934-1935.
Nos años 40 Alfred Tarski empezó a desenvolver xunto a los sos discípulos el álxebra relacional, na que pueden espresase tantu la teoría axomática de conxuntos como l'aritmética de Peano. Tamién desenvolvió xunto a los sos discípulos les álxebres cilíndrequiers, que son a la lóxica de primer orde lo que l'álxebra booleana a la lóxica proposicional. En 1941 publicó n'inglés unu de los manuales de lóxica más acreitaos, Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences.
Noam Chomsky en 1956 propón una clasificación xerárquica de distintos tipos de gramátiques formales que xeneren llinguaxes formales llamada xerarquía de Chomsky.
Magar a la lluz de los sistemes contemporáneos la lóxica aristotélica puede paecer equivocada ya incompleta, Jan Łukasiewicz amosó que, a pesar de les sos grandes dificultaes, la lóxica aristotélica yera consistente, magar había qu'interpretase como lóxica de clases, lo cual nun ye pequeñu cambéu. Por ello la siloxística práuticamente nun tien usu anguaño.
Amás de la lóxica proposicional y la lóxica de predicaos, el sieglu XX vio'l desenvolvimientu de munchos otros sistemes lóxicos; ente los que destaquen les munches lóxiques modales.
Conceutu de lóxica matemática La lóxica matemática estudia los sistemes formales en rellación cola manera nel que codifican conceutos intuitivos d'oxetos matemáticos como conxuntos, númberos, demostraciones y computación. La lóxica estudia les regles de deducción formales, les capacidaes espresives de los distintos llinguaxes formales y les propiedaes metalógicas de los mesmos.
Nun nivel elemental, la lóxica apurre regles y téuniques pa determinar si ye o non válidu un argumentu dau dientro d'un determináu sistema formal. Nun nivel avanzáu, la lóxica matemática ocupar de la posibilidá de axiomatizar les teoríes matemátiques, de clasificar la so capacidá espresiva, y desenvolver métodos computacionales preseos en sistemes formales. La teoría de la demostración y la matemática inversa son dos de los razonamientos más recién de la lóxica matemática astracta. Tien De señalase que la lóxica matemática ocupar de sistemes formales que pueden nun ser equivalentes en tolos sos aspeutos, polo que la lóxica matemática nun ye métodu d'afayar verdaes del mundu físicu real, sinón namái una fonte posible de modelos lóxicos aplicables a teoríes científiques, bien especialmente a la matemática convencional.
La lóxica matemática nun s'encarga per otra parte del conceutu de razonamientu humanu xeneral o del procesu creativu de construcción de demostraciones matemátiques por aciu argumentos rigorosos pero feches usando llinguaxe informal con dellos signos o diagrames, sinón namái de demostraciones y razonamientos que pueden ser dafechu formalizaos en tolos sos aspeutos.
Sistemes lóxicos La lóxica matemática interesar por tres tipos d'aspeutos de los sistemes lóxicos: La sintaxis de los llinguaxes formales, esto ye, les regles de formación de símbolos interpretables construyíos a partir d'un determináu alfabetu, y les regles de inferencia. En concretu'l conxuntu de teoremes deducibles d'un conxuntu d'axomes.