Po czterech rundach podpisał kontrakt z zespołem CRG, co umożliwiło mu kontynuację startów (wcześniej ojciec Kubicy musiał zaciągnąć kredyt, by umożliwić synowi ściganie się). W 1998 został juniorskim mistrzem Włoch (jako pierwszy zagraniczny kierowca w historii) i wicemistrzem Europy, wygrał też Monako Kart Cup. W następnym sezonie został zwycięzcą Elf Masters, ponownie zwyciężył też w Monako. Zdobył tytuły Międzynarodowego Mistrza Niemiec i Włoch, był piąty na Mistrzostwach Europy. W części z tych serii startował w teamie Opel Kart Team Holzer. Był też kierowcą testowym producenta opon Vega. Do wyścigu Andrea Margutti Trophy w Parmie zakwalifikował się na odległej pozycji. Po starcie wyprzedził jednak wielu zawodników swojej kategorii i jechał na dziesiątym miejscu, a przed nim znajdowała się światowa czołówka. Polak zajął drugie miejsce, zwyciężając zdecydowanie swoją kategorię. Znakiem rozpoznawczym Kubicy w tamtym czasie był niemalowany biały kask. W 2000 rozpoczął starty jako senior. Ukończył na czwartej pozycji Mistrzostwa Świata i na tej samej mistrzostwa Europy, po czym postanowił zakończyć karierę kartingową. Ostatnim jego wynikiem w gokarcie była 26.