Jeśli φ: A→B i ψ: A→B są równoległą parą morfizmów, to koekwalizatorem tej pary jest obiekt K wraz z morfizmem λ: B → K spełniającym następujące dwa warunki:
(i*) λφ = λψ,
(ii*) dla dowolnego obiektu X i dowolnego morfizmu ξ: B → X spełniającego warunek ξφ = ξψ istnieje jeden i tylko jeden morfizm θ: K → X taki, że θλ = ξ.
Jeśli para φ, ψ ma koekwalizator λ, to jest on wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu oraz jest epimorfizmem.
W kategoriach Set i Top koekwalizatorem równoległej pary φ, ψ mofizmów jest obiekt ilorazowy K = B/~, gdzie ~ jest najmniejszą relacją równoważności w B taką, że φ(a) ~ ψ(a) dla każdego a ∈ A, wraz z kanoniczną suriekcją λ: B → B/~. Natomiast w kategorii Grp należy dzielić grupę B przez podgrupę normalną generowaną przez wszystkie ilorazy φ(a)ψ(a)–1, a ∈ A.
Jądro i kojądro morfizmu Załóżmy, że kategoria ma obiekt zerowy i morfizmy zerowe 0A,B: A → B. Jądro morfizmu φ: A → B to ekwalizator pary φ, 0A,B. W kategoriach Grp, Ab, VectK jądrem morfizmu jest przeciwobraz elementu neutralnego.
Dualnie, kojądro morfizmu φ: A → B to koekwalizator pary φ, 0A,B.