Od reprezentował szwajcarski HC Ambrì-Piotta. W grudniu 2021 ponownie trafił do Łokomotiwu. W czerwcu 2022 ponownie został zakontraktowany przez Dynama Mińskhttps://lostsports.com/canadian-brandon-kozun-returned-to-minsk-dynamo/. W listopadzie 2023 został zaangażowany przez niemiecki ERC Ingolstadt.
W barwach juniorskiej kadry Kanady uczestniczył w turnieju mistrzostw świata juniorów do lat 20 w 2010. W barwach seniorskiej reprezentacji brał udział w turniejach Deutschland Cup 2016 oraz zimowych igrzysk olimpijskich 2018.
Sukcesy Reprezentacyjne 16px Srebrny medal mistrzostw świata juniorów do lat 20: 2010 16px Brązowy medal zimowych igrzysk olimpijskich: 2018
Klubowe Scotty Munro Memorial Trophy: 2009, 2010 z Calgary Hitmen Ed Chynoweth Cup - mistrzostwo WHL: 2010 z Calgary Hitmen Finał CHL o Memorial Cup: 2010 z Calgary Hitmen Emile Francis Trophy: 2014 z Manchester Monarchs 16px Brązowy medal mistrzostw Rosji: 2017 z Łokomotiwem Jarosław