Latem 2013 roku Kwekweskiri został wypożyczony do Spartaki Cchinwali. Zadebiutował w nim 10 sierpnia 2013 w przegranym 1:2 wyjazdowym meczu z Merani Martwili. W Spartaki spędził pół roku. Latem 2014 roku Kwekweskiri przeszedł z Dinama Tbilisi do klubu Dila Gori. Swój debiut w nim zaliczył 10 sierpnia 2014 w zwycięskim 2:0 domowym meczu ze Spartak Cchinwali. W sezonie 2014/2015 wywalczył swój drugi w karierze tytuł mistrza Gruzji. Latem 2015 roku Kwekweskiri trafił do azerskiego klubu İnter Baku. Zadebiutował w nim 9 sierpnia 2015 w przegranym 0:2 wyjazdowym meczu z Xəzərem Lenkoran. W 2016 roku Kwekweskiri przeszedł do FK Qəbələ. W latach 2017–2020 grał w kazachskim klubie Toboł Kustanaj. Od stycznia 2021 roku jest zawodnikiem Lecha Poznań. W dniu 22 sierpnia 2021 w meczu z Lechią Gdańsk zdobył swoją pierwszą bramkę dla Kolejorza.
Statystyki kariery klubowej Stan na 22 maja 2022
Klub Sezon Liga Liga Puchar kraju EuropaUwzględniono: el. Ligi Europy UEFA oraz Liga Europy UEFA.