Wówczas (lewostronnym) działaniem grupy na zbiorze nazywa się funkcję dwuargumentową
spełniającą następujące dwa aksjomaty:
gdzie są dowolnymi elementami grupy element należy do zbioru zaś oznacza element neutralny w Zbiór nazywa się wtedy (lewostronnym) -zbiorem, co formalnie można oznaczać parą uporządkowaną o grupie mówi się zaś, że działa na (z lewej strony).
Homomorfizm w grupę symetryczną Powyższe dwa aksjomaty gwarantują, że dla każdego funkcja przekształcająca w jest bijekcją zbioru Jeżeli nie prowadzi to do nieporozumień, wyznaczaną jednoznacznie przez element bijekcję oznacza się niekiedy symbolem lub nawet Dlatego też działanie grupy może być zdefiniowane jako homomorfizm grupowy z w grupę symetryczną wszystkich bijekcji dany wzorem Z tego też powodu dowolny homomorfizm można nazywać działaniem grupy na zbiorze.
Działanie to przypisuje każdemu elementowi grupy permutację w taki sposób, że permutacją odpowiadającą elementowi neutralnemu jest odwzorowanie tożsamościowe permutacją odpowiadającą iloczynowi dwóch elementów tej grupy jest złożenie permutacji przypisanych do oraz