Po demobilizacji rozpoczął naukę w Szkole Muzycznej przy Konserwatorium Moskiewskim w klasie fortepianu (R. Czernowa) i kompozytorskiej (E. Messnera). W 1948 roku został studentem dwóch wydziałów Konserwatorium Moskiewskiego: kompozytorskiego (klasy N. Rakowa, N. Miaskowskiego, E. Golubiewa) i fortepianu (klasa W. Sofronickiego), zaś w latach 1953–1956 studiował jako aspirant w klasie A. Chaczaturiana. Z tą uczelnią A. Eszpaj związał także swoje zawodowe życie – w latach 1965-1970 w Konserwatorium Moskiewskim wykładał kompozycję, jednocześnie koncertując jako pianista wykonujący własne kompozycje. Studenckie dzieła A. Eszpaja świadczą o tym, jak rozwijał się talent młodego kompozytora. W tym okresie powstały m.in.: Sonatina na fortepian, liczne utwory na skrzypce, klarnet, flet, „Kołysanka” i „Taniec” na dwa fortepiany (1952), Passacaglia na organy (pamięci N. Miaskowskiego, 1950) oraz „Melodie węgierskie” (1953) na skrzypce i orkiestrę. W 1955 roku cykl „Melodie węgierskie” został wyróżniony I nagrodą na konkursie młodych kompozytorów, towarzyszącym V Światowemu Festiwalowi Młodzieży i Studentów w Warszawie. Na rok przed ukończeniem konserwatorium, w 1952 roku, Andrej Eszpaj został przyjęty do Związku Kompozytorów ZSRR, tym samym stając się jednym z najmłodszych jego członków.