Wtedy jednak byłby właściwym przedłużeniem łańcucha co przeczyłoby jego maksymalności.
Twierdzenie o równoliczności baz Wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne.
Dowód: Wynika to ze słabszego od aksjomatu wyboru lematu o istnieniu ultrafiltrów w algebrach Boole’a (BPI).
Definicja wymiaru przestrzeni liniowej Jeśli jest przestrzenią liniową, to moc jej bazy nazywa się wymiarem przestrzeni
Wymiar przestrzeni oznacza się symbolem
Np. Wymiar rzeczywistej przestrzeni liniowej czyli wynosi trzy, gdyż każdy element tej przestrzeni daje się przedstawić jako kombinacja wektorów należących np. do zbioru Wektory te są liniowo niezależne..
Uwaga:
Istnieją przestrzenie liniowe, dla których nie można wskazać żadnej bazy, ale przy założeniu aksjomatu wyboru wiadomo, że ona istnieje.
Twierdzenie Andreasa Blassa (1984 r.) Istnienie bazy każdej przestrzeni liniowej jest równoważne z aksjomatem wyboruBlass, Andreas. Existence of bases implies the axiom of choice. Axiomatic set theory (Boulder, Colo., 1983), 31–33, Contemp. Math., 31, Amer. Math.