Wystarczy więc dowieść, że należy do a ponieważ to pozostaje sprawdzić, że jest ideałem właściwym: Otóż jeśli to istnieją ideały dla których i Przyjmując dla ustalenia uwagi otrzymuje się, iż skąd czyli (podobnie dla ); ponadto jeśli oraz to istnieje wtedy taki ideał że wtedy skąd Wynika stąd, że jest ideałem. Ideał jest właściwy wtedy i tylko wtedy, gdy (jeśli to dla dowolnego oznacza, że z drugiej strony jeżeli to ). Skoro wszystkie ideały należące do są właściwe, to żaden z nich nie zawiera jedynki, czyli również co oznacza, że także jest właściwy.
W ten sposób a ponieważ suma każdego łańcucha w należy do to z wniosku do lematu Kuratowskiego-Zorna wynika, że w rodzinie istnieje element (ideał) maksymalny.
Uwagi
Bibliografia Wolfgang Krull, Die Idealtheorie in Ringen ohne Endlicheitsbedingungen, „Mathematische Annalen” 10 (1929), s. 729–744.
Krulla