W 2011 roku Mowsisjan został sprzedany za 2,5 miliona euro do rosyjskiego klubu FK Krasnodar. W Krasnodarze po raz pierwszy wystąpił 12 marca 2011 w meczu z Anży Machaczkała (0:0). Na początku 2013 roku Ormianin przeszedł do Spartaka Moskwa za kwotę 7,5 miliona euro. 10 marca 2013 w pierwszym meczu ligowym w barwach nowego zespołu zanotował on hat-tricka (3:1 z Terekiem Grozny) W sezonie 2012/2013 został królem strzelców rosyjskiej ligi.
W 2016 roku Mowsisjan został wypożyczony do Real Salt Lake, a w 2017 przeszedł do niego na stałe. W 2018 wypożyczono go do Djurgårdens IF.
W 2018 był zawodnikiem amerykańskiego klubu Chicago Fire. Kariera reprezentacyjna W reprezentacji Armenii Mowsisjan zadebiutował 11 sierpnia 2010 w przegranym 1:3 towarzyskim meczu z Iranem. 8 października 2010 w meczu eliminacji do Euro 2012 ze Słowacją (3:1) strzelił pierwszego gola w kadrze narodowej.